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1、 正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示 一、理顺正四面体性质固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为； 定理2正四面体
2、的高为；定理3正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，故定理4正四面体的全面积为，体积为；定理5正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)定理6正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的
3、角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知定理8设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有 略证：如图1所示，易知，由H为的中心，易知，从而定理9正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角 略证：如图1，在三角形AOB中，由余弦定理可求得，于是同理可得定理10正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线二、运用正四面体性质化繁为易1巧算空间距离例1一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积 分析
4、一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解 解法一如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球 正四面体的棱长为a， 正方体的棱长为 正方体的内切球半径 分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离 解法二 正四面体的棱长为a， 由定理1可知，相对棱间的距离为 即该球的半径为 例2在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，
5、在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即NPMCED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得， 2妙求空间角例3设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为 解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE求异面直线直线AF和CE所成的角；求C
6、E与面BCD所成的角 解：连结FD，在平面AFD内，过点E作EGAF交DF于点G则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）设正四面体ABCD的棱长为a，可得，由余弦定理可求得 故异面直线AF与CE所成的角为由已知易知平面AFD平面BCD，在平面AFD内，过点E作EHFD于点H，连结CH，则ECH为CE与平面BCD所成的角 EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知 CE与底面BCD所成的角为例5如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值 解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体
7、的对角线为此球的直径，如图所示，即CC1、DD1为该球的直径连结C1D1，交AB于点M，连结MC MCAB，MD1AB， CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角设正方体棱长为a，在中， 平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升1.在正四面体中，、分别是、的中点，下面四个结论中不成立的是面；面面；面；面面2.正四面体中，与平面所成角的余弦值为3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的
8、中点，则的值为A4BCD2选：44.以下说法三个数，之间的大小关系是；已知：指数函数过点，则；已知正四面体的边长为，则其外接球的体积为；已知函数的值域是，则的值域是，；已知直线平面，直线在内，则与平行其中正确的序号是555555555.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为ABCD选：6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线和所成角的正弦值为ABCD选：【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线
9、的关键技巧本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是ABCD选：8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面和平面的距离分别为，则的最小值为【考点】：基本不等式及其应用【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点交于点，则点为的中点设，由，可得同理可得：代入利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点交于点，则点为的中点设，同理可得：
10、，当且仅当时取等号故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列结论中，正确的个数有（1）； （2）若为中点，则与所成角为；（3）平面平面； （4）存在点，使得过的平面与垂直A1个B2个C3个D4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面垂直；：平面与平面垂直【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对
11、于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在的一个位置，使因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直【解答】解：（1）连接、正中，为的中点同理，结合平面，而平面，故（1）是正确的；（2）取中点，连接、中，、分别是、的中点，、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角设正四面体棱长为，在中，则中在中，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；（3）由（1）的证明知：平面平面平面平面，故（3）正确；（4）若有，根据（1）的结论，因为、相交于点，所以平面中，可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，的最大值是锐角，不可能是直角，因为平面，与不能垂直，以上结论与平
12、面矛盾，故不论在线段上的何处，都不可能有因此不存在点，使得过的平面与垂直综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：正四面体的体积为；正四面体的表面积为；内切球与外接球的表面积的比为；正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值上述命题中真命题的序号为【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】正四面体的高，体积为，计算即可判断出正误；正四面体的表面积为，即可判断出正误；分别设内切球与外接球的半径为，则，解得；，解得，即可判断出正误；正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简即可判断出正误【解答】解：正四面体的高，体积为，因此不正确；正四面体的表面积为，正确；分别设内切球与外接球的半径为，则，解得；，解得，因此表面积的比为，正确；正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简可得：，即为正四面体的高，均为定值，正确上述命题中真命题的序号为
