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1、第八章 统计回归模型回归分析是研究一个变量与其它若干变量之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.回归分析所研究的主要问题是如何利用变量、的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.一、多项式回归(1) 一元多项式回归一元多项式回归模型的一般形式为.如果从数据的散点图上发现与呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元
2、多项式回归.1. 用函数polyfit估计模型参数，其具体调用格式如下：p=polyfit(x,y,m) p返回多项式系数的估计值；m设定多项式的最高次数；x，y为对应数据点值.p,S=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差.2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下：Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y.Y,DELTA=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，YDELTA以50%的概率包含函数在X处的真值.3. 模型预测的置信区间用poly
3、conf实现，其具体调用格式如下：Y,DELTA=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间YDELTA，alpha缺省时为0.05.4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下：polytool(x,y,m)；polytool(x,y,m,alpha)；用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha为显著性水平，默认值为0.05.例1 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s.t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.
4、6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下：%输入数据t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;%多项式系数拟合p,S=polyfit(t,s,2);则得回归模型为：.%y的拟合值及
5、预测值y的置信半径deltay,dalta=polyconf(p,t,S);得结果如下：y= Columns 1 through 11 11.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754 Columns 12 through 14 113.7759 129.5637 146.4389dalta= Columns 1 through 11 0.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.081
6、7 0.0816 Columns 12 through 14 0.0829 0.0865 0.0937%交互式画图polytool(t,s,2);polytool所得的交互式图形如图8-1所示.图8-1(2) 多元二项式回归多元二项式回归模型的一般形式为.多元二项式回归命令：rstool(x,y,model,alpha) x表示nm矩阵；y表示n维列向量；alpha为显著性水平(缺省时为0.05)；model表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：linear(线性)：；purequadratic(纯二次)：；interaction(交叉)：；quadratic(完全二
7、次)：.例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入1000600 1200500300400130011001300300价格5766875439解 选择纯二次模型，即.%输入数据x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;x=x1 x2;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;%多元二项式回归rstool(x,y,purequ
8、adratic);得如下结果：图8-2得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y（x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y（x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方单击”Export”，在出现的窗体中单击”ok”按钮，则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.在Matlab工
9、作区中输入命令：beta,rmse，得结果：beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475rmse =4.5362故回归模型为：，剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.二、多元线性回归多元线性回归模型的一般形式为.在Matlab统计工具箱中使用函数regress实现多元线性回归.具体调用格式为：b=regress(Y,X)b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)其中，.对于一元线性回归，取即可.b为输出向量；b，bint表示回归系数估计值和它们的置信区间；r表示残差；rint表示残差的置信区间；sta
10、ts表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数、值、与值对应的概率、的值.相关系数越接近1，说明回归方程越显著；时拒绝，越大，说明回归方程越显著；与对应的概率时拒绝，回归模型成立；alpha表示显著性水平(缺省时为0.05).残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出.例3 已知某湖泊八年来湖水中COD浓度实测值(y)与影响因素，如湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)的资料，建立y的水质分析模型.湖水浓度与影响因素数据表x11.3761.3751.3871.4011.4121.4281.4451.477x20.4500.4750.48
11、50.5000.5350.5450.5500.575x32.1702.5542.6762.7132.8233.0883.1223.262x40.89221.16100.53460.95891.02391.04991.10651.1387y5.195.305.605.826.006.066.456.95解 作出因变量y与各自变量的样本散点图作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式.图8-3、图8-4、图8-5、图8-6分别为y与x1、x2、x3、x4的散点图.从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归.
12、 图8-3 y与x1的散点图 图8-4 y与x2的散点图 图8-5 y与x3的散点图 图8-6 y与x4的散点图在Matlab中实现回归的具体代码如下：%输入数据x1=1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477;x2=0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575;x3=2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262;x4=0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.0499 1.1065 1.1387;x=ones(
13、8,1) x1 x2 x3 x4;y=5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95;%多元线性回归b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);得如下结果：b = -13.9849 13.1920 2.4228 0.0754 -0.1897bint = -26.0019 -1.9679 1.4130 24.9711 -14.2808 19.1264 -1.4859 1.6366 -0.9638 0.5844r = -0.0618 0.0228 0.0123 0.0890 0.0431 -0.1473 0.0145 0.0274rint =
14、-0.1130 -0.0107 -0.1641 0.2098 -0.1051 0.1297 -0.2542 0.4321 -0.0292 0.1153 -0.2860 -0.0085 -0.3478 0.3769 -0.1938 0.2486stats = 0.9846 47.9654 0.0047 0.0123故回归模型为：，此外，由stats的值可知，。%残差分析，作残差图rcoplot(r,rint)图8-7从残差图可以看出，除第一和第六个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点.第一和第六个数据可视为异常点，将其去掉后重新拟合可得新的回归模型.三、非线性回归非线性回归模型的一般形式为，其中对
