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1、数值线性代数习题解答习题1求下三角阵的逆矩阵的详细算法。解 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到我们只需运用算法111，逐一求解方程便可求得注意 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。解 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，
2、算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。解 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有确定一个Gauss变换L，使解 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么
3、定理112中的L和U都是唯一的。证明 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。设的定义如下证明A有满足的三角分解。证明 令 是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下容易验证：设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。证明 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为
4、其中，将A分块为那么即 由A的对称性，对称性则是显而易见的。设是严格对角占优阵，即A满足又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。证明 依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的，即故从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？解 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵
5、A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法112求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵，证明仍是正定阵。证明 不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有由x的任意性知，正定。11设并且是非奇异的。矩阵称为是在A中的Schur余阵。证明：如果
6、有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（114）的矩阵证明 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知，故有12证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有证明 略。13利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。解 设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组便可求得于是也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）经求解：得；（3）对X进行列置换得：。14假定已
7、知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。解 求解方程组则x的第i个分量就是的（i,j）元素。15证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且证明 仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到其中仍是严格对角占优阵。A的三角分解A=LU中这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。因此，16形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（3）给出一种利用Gauss-Jor
8、dan变换求的逆矩阵的算法。并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。解 为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：性质1： .事实上，性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必要条件是.（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使，则应有即因此，应满足，便可按上述方法得到使得。（3）设A的逆矩阵，则应有下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记第1步：假若，令，构造，用左乘和，得到其中第2步：假定，令，构造，用左乘和，得到其中照此下去，直到第n步：假定 ，构造，用左乘和，得到经上述n
9、步，我们得知：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理。定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异。证明 对于用归纳法。当时，定理显然成立。假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可。由归纳假定知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换使（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式若将的阶顺序主子阵分别记为，则由（16-1）知注意到 所以即非奇异的充要条件是17证明定理131中的下三角阵L是唯一的。证明 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为
10、证明L的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即从而于是得知18证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。L的带宽为多少？证明 带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar的Colicky分解算法，可改写成下列形式：从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+1.19若是A的Cholesky分
11、解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。证明 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。显然故有。即是的Colicky分解。20证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。证明 先证明存在性。根据定理112知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零。令，则有单位上三角阵使，即有又因为，则从而根据L和的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因此它们等于对角阵。再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角
12、阵。因此两端都等于D。于是从而有再证唯一性。令，故有。左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。又因，故。21给出按行计算Cholesky因子L的详细算法。解 略。22利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。解 算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法132计算出正定矩阵的如下分解其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。（2）求解矩阵方程其解矩阵.（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵注意 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。23设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。解 由Colicky分解可得其中显然，L是非奇异矩阵
13、。因此，对.于是所以是正定的。由方程组，解得，再由方程组，解得24设是一个正定Hermite矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组解 既然是正定的，又对，有，且.且注意到显然H正等价于A、B正定。对，则有由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的。由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。习题22.1 设是个正数。证明：由定义的函数是一个范数。证明 只需验证满足定义2.1.1的三个条件。其中（1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证
14、明。像2范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成立用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有（E2.1）现在来考虑时的情形，注意到至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了Cauchy-Schwartz不等式。又因为是个正数，因此有从而对，我们有2.2 证明：当且仅当和线性相关且时，才有.证明 因为对任意的于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当，即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。2.3 证明：如果是按列分块的，那么证明 因为.2.4 证明：证明 记，那么，根据第3题的结果我们有根据Frobenius范数定义易知，对. 于是2.5 设是由定义的。证明是矩阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数的相容性。
