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1、公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法常用的因式分解公式： 例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解
2、因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决解 设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是1，7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式
3、能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地求根法(因式分解)我们把形如a
4、nxn+an-1xn-1+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3我们把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若
5、f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析
6、 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验
7、证例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因为9的约数有1，3，9；-2的约数有1， 为：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次
8、的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作
9、常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-2
10、2y2+35y-3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(
11、x-y+4)(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可 例 求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1
12、3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20初商+试商)试商不超过第一余数，而【20初商+(试商+1)】(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20初商+试商)试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】 数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a
13、.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反. 【算术根】 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】 由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即0,b0)【分式的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即0,b0)【根式的乘方】 0)【根式化简】0)0,d0)0,d0)【同类根式及其加减运算】 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并
14、.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在0,1,2,L,9中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在0,1,2,.,q-1中取值，anan-1.a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作a(q);a-1a-2 .称为a(q)的分数部分，记作a(q).常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1q10转换适用通
