《数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1-》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1-（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 绪论（12）1、设，x的相对误差为，求的误差。解设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，相对误差为。2、设x的相对误差为2%，求的相对误差。解设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，相对误差为。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：，。解有5位有效数字；有2位有效数字；有4位有效数字；有5位有效数字；有2位有效数字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中均为第3题所给的数。（1）；解；（2）；解；（3）。解。5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？
2、解由可知，从而，故。6、设，按递推公式计算到，若取（五位有效数字，）试问计算将有多大误差？解令表示的近似值，则，并且由，可知，即，从而，而，所以。7、求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字（）解由与（五位有效数字）可知，（五位有效数字）。而，只有两位有效数字，不符合题意。但是。8、当N充分大时，怎样求？解因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，则，从而，因此。9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1?解由可知，若要求，则，即边长应满足。10、设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。证明因为，所以得证。11、序列
3、满足递推关系，若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解设为的近似值，则由与可知，即，从而，因此计算过程不稳定。12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，。解因为，所以对于，有一位有效数字；对于，没有有效数字；对于，有一位有效数字；对于，没有有效数字。13、，求的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？解因为（六位有效数字），所以，。14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？解精确解为。当使用三位数运算时，得到，结果可靠。15、已知三角形面积，其中c为弧度，且测量a，b，c的误差分别为，
4、证明面积的误差满足。解因为，所以。第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令，证明是n次多项式，它的根是，且。证明由可得求证。2、当时，求的二次插值多项式。解。3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解若取，则，则，从而。若取，则，则，从而。4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，近似线性插值多项式为，所以总误差为，从而。5、设，求。解。令，
5、则，从而极值点可能为，又因为，显然，所以。6、设为互异节点，求证：1）；2）；解1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。2）设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。7、设且，求证。解见补充题3，其中取即得。8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解由题意可知，设x使用节点，进行二次插值，则插值余项为，令，则，从而的极值点为，故，而，要使其不超过，则有，即。9、若，求及。解。10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正整数）。证明对k使用数学归纳法可证。11、证明。证明。12、证明。证明因为，
6、故得证。13、证明：。证明。14、若有n个不同实根，证明。证明由题意可设，故，再由差商的性质1和3可知：，从而得证。15、证明n阶均差有下列性质：1）若，则；2）若，则。证明1）。2）。16、，求，。解，。17、证明两点三次埃尔米特插值余项是，并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。解见P30与P33，误差限为。18、XXXXXXXXXX19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，。解设，则，再由，可得：解得。从而。20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并证明当时，在上一致收敛到。解令。21、设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点中点处的与的值，并估计误差
7、。解由题意可知，从而当时，。22、求在上的分段线性插值函数，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。23、求在上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。24、给定数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条函数，并满足条件：1）；2）。解由，及（8.10）式可知，由（8.11）式可知，。从而1）矩阵形式为：，解得，从而。2）此为自然边界条件，故；，矩阵形式为：，可以解得，从而。25、若，是三次样条函数，证明1）；2）若，式中为插值节点，且则
8、。解1）。2）由题意可知，所以。补充题：1、令，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。解由，可知，余项为，故。2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。解由插值余项定理，有，从而。3、设在内有二阶连续导数，求证：。证因为是以a，b为插值节点的的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：，从而。4、设，求差商，和。解因为，所以，。5、给定数据表：，1246741011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。6、如下表给定函数：，0123436111827试计算
9、出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。解构造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多项式为：。第三章 函数逼近与计算（80-82）1、（a）利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式；（b）对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。解（a）令，则，从而伯恩斯坦多项式为，其中。（b）令，则，从而伯恩斯坦多项式为，其中。；。2、求证：（a）当时，；（b）当时，。证明（a）由及可知，而，从而得证。（b）当时，。3、在次数不超过6的多项式中，求在的最佳一致逼近多项式。解由可知，从而最小偏差为1，交错点为，
10、此即为的切比雪夫交错点组，从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得。4、假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式。解令，则在上具有最小偏差，从而为零次最佳逼近一次多项式。5、选择常数a，使得达到极小，又问这个解是否唯一？解因为是奇函数，所以，再由定理7可知，当时，即时，偏差最小。6、求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解由可得，从而最佳一次逼近多项式为7、求在上的最佳一次逼近多项式。解由可得，从而最佳一次逼近多项式为。8、如何选取r，使在上与零偏差最小？r是否唯一？解由，可知当与零偏差最小时，从而。另解：由定理7可知，在上与零偏差最小的二次多项式为，从而。9、设，在上求三次最佳逼近多
11、项式。解设所求三次多项式为，则由定理7可知，从而。10、令，求、。解由可知，令，则，从而。 11、试证是在上带权的正交多项式。？12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。解由题意可知，插值节点为，即，则可求得。13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为，若有界，证明对任何，存在常数，使得。证明由题意可知，从而取，则可得求证。14、设在上，试将降低到3次多项式并估计误差。解因为，所以，误差为。15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。解因为，取前三项，得到，误差为，又因为，所以3次逼近多项式为，此时误差为。16、是上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶
12、数，的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数。解的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。17、求a、b使为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。解由，可得，解得。18、，定义（a）；（b）。问它们是否构成内积？解（a）因为，但反之不成立，所以不构成内积。（b）构成内积。19、用许瓦兹不等式（4.5）估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。解。因为，所以。20、选择a，使下列积分取最小值：，。解，从而。当时，当时，由，可得交点为，若，则，若，则。同理可知，当时，当时，从而当时，积分取得最小。21、设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。解由，可知，解得，即在上为。由，可知，解得，即在上为。22、在上，求在上的最佳平方逼近。解由，可知，解得。从而最佳平方逼近多项式为。23、是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系。证明令，则。24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。解若按照切比雪夫多项式展开，其中；若按照勒让德多项式展开，其中；从而；，从而三次最佳逼近多项式为。25、把在上展成切比雪夫级数。解若按照切比雪夫多项式展开，其中。从而。26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。19253138441
