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1、2020/9/24,1,近世代数及其应用,罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院,2020/9/24,2,第2章 半群与群,本章研究最基本的代数系统：群 (集合中只有一种二元运算)。 群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是 近世代数的基础。 变换群在几何学中起着重要的作用，有限群是伽罗华理论的基础。 群在编码理论、信息安全等方面有应用。,2020/9/24,3,第1节：半群与含幺半群,2020/9/24,4,2020/9/24,5,2020/9/24,6,2020/9/24,7,2020/9/24,8,2020/9/24,9,2020/9/24,10,2020/9/24,11,20
2、20/9/24,12,2020/9/24,13,2020/9/24,14,2020/9/24,15,2020/9/24,16,2020/9/24,17,2020/9/24,18,2020/9/24,19,2020/9/24,20,2020/9/24,21,2020/9/24,22,2020/9/24,23,2020/9/24,24,2020/9/24,25,2020/9/24,26,2020/9/24,27,2020/9/24,28,2020/9/24,29,2020/9/24,30,2020/9/24,31,2020/9/24,32,2020/9/24,33,第2节：群的定义及性质,2020
3、/9/24,34,2020/9/24,35,群的例,2020/9/24,36,2020/9/24,37,2020/9/24,38,2020/9/24,39,2020/9/24,40,2020/9/24,41,2020/9/24,42,2020/9/24,43,2020/9/24,44,群的定理1（等价定义）,2020/9/24,45,2020/9/24,46,2020/9/24,47,群的定理2 （等价定义）,2020/9/24,48,2020/9/24,49,归纳群的等价定义,2020/9/24,50,有限群（群的阶）,2020/9/24,51,有限群证（等价定义）,2020/9/24,52
4、,2020/9/24,53,2020/9/24,54,长方形图F，保持距离的双射f有哪些？用顶点变到顶点表示,2020/9/24,55,克莱因群,2020/9/24,56,群元素的阶,2020/9/24,57,群元素阶的定理,2020/9/24,58,2020/9/24,59,群元素阶的定理,2020/9/24,60,定理,有限群,中每个元素的阶均有限.,，在,中必有相等的. 设,则,，从而阶有限.,证明：设,2020/9/24,61,例,全体n次单位根,作成一个群，称作n次单位根群。,对于数的普通乘法,2020/9/24,62,注：,无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，,关于普通乘法作成无
5、限交换群，,甚至可能都有限.,例,，则,其中每个元素的阶都有限.,2020/9/24,63,第3节 子群，群同态,利用群的某些子集来研究整个群的性质是群论研究的方法之一. 本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合.,2020/9/24,64,定义1,.,例 设,和,都是,的子群.它们称为,的平凡子群.,非平凡子群称为真子群.,2020/9/24,65,子群的性质：,则,，由消去律，,，则,，,.,的逆元记为,由消去律,2020/9/24,66,判定子群的充要条件,定理2 设,的充分必要条件是：,，有,(2),，有,(1),充分性：由(1)，,的运算也是,中结合律也成立,的单位元,由(2),中每
6、一个元素,证明：必要性：由子群定义及定理1，显然成立(1)(2).,的运算.,都有逆元，所以,是一个群，,.,2020/9/24,67,判定子群的充要条件,(3),，有,证明：必要性：,，由(1)，,.,.,充分性：,由(3)，对,于是,，单位元,，因此,.,2020/9/24,68,例2 设,例3,例4,H= 数域F上的全体n阶满秩对角阵,H= 数域F上的全体行列式等于1的n阶方阵,，有,，有,2020/9/24,69,判定子群的充要条件(有限子集),，有,证明：必要性显然，下证充分性：,(*).,由条件(*)，,是一个半群，又因为群,有消去律，从而,也有消去律，,.,注：这个定理，只要求H
7、是有限集，并没有 要求G是有限集.,2020/9/24,70,群的同态,复习： 同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射) 两个代数系统的同态,同构,性质,2020/9/24,71,同态应用到群,定理假定 与 是两个同态的代数系统,如果是群，那么 也是一个群,证明 的乘法适合结合律，而 与 同态，由前述定理知， 的乘法也适合结合律，所以 适合群定义的条件 ，我们证明 适合（左单位元，左逆元）设: 是满同态(映射),2020/9/24,72, 就是 的一个左单位元假定 是 的任意元,而 是 的一个原像: 那么,假定 是 的任意元， 是 的一个逆像: 那么 是 的左逆元.,2020/9
8、/24,73,2020/9/24,74,2020/9/24,75,2020/9/24,76,2020/9/24,77,由定理的证明我们直接可以看出,定理假定 和 是两个群在 到 的一个同态满射之下， 的单位元 的象是 的单位元， 的元 的逆元 的像是 的像的逆元,2020/9/24,78,第4节 循环群,循环群是已经研究清楚的群之一，就是说，这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群的数量和它们子群的状况等，都完全研究清楚了.,2020/9/24,79,例子,例1、n次分圆域 例2、整数加群Z 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是的乘
9、方这一点，假如把G的代 数运算不用而用 “ ” 来表示，就很容易看出我们知道 的逆元是假定m是任意正整数，那么 这样Z的不等于零的元都是的乘方但是Z的单位元，按照 定义,2020/9/24,80,存在性,定义 若群G中每个元都能表示成某个固定元a 的乘方，就称群G为循环群, 也称群G为由元a 生成的群，记为G=(a)，称a是G的一个生成元.,例1 整数加群Z是无限阶循环群,2020/9/24,81,例2 n次单位根乘群,是 n 阶循环群（n 1）,，但,，则,（n 1）,取,例3 模 n 的剩余类加群,是n阶循环群.,2020/9/24,82,构造,定理 循环群,，则,；且,2.G是n阶循环群
10、,；且,是G的生成元,1. G是无限阶循环群,3.G是n阶循环群，,推论 若循环群,，则,2020/9/24,83,2020/9/24,84,2020/9/24,85,2020/9/24,86,2020/9/24,87,2020/9/24,88,2020/9/24,89,2020/9/24,90,2020/9/24,91,2020/9/24,92,2020/9/24,93,数量,定理 循环群,，则,(2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.,(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构.,证明： （1）,（2）,2020/9/24,94,2020/9/24,95,，,，若,，若
11、,，取H的最小正幂,，若,，则设,，,，于是,，故,，,，因此,.,证：,2020/9/24,96,定理,循环群,，则,定理 无限循环群,有无限多个子群.,是,不同的子群（若,，则,，于是,.）,证：,证：,的全部,2020/9/24,97,如何研究代数系统,I.分类: 同构的分成同一类,存在及数量。 II. 每一类的内部结构。 III.表示: 对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中 这一节的研讨是近世代数研讨方法的一个缩影。在近世代数里，不管是在群论里还是在其它部分中，我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题假如我们对于
12、这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样完美的解答，我们的目的就算达到了,2020/9/24,98,第5节 变换群与置换群,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。 关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。,本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。,2020/9/24,99,集合的变换和变换乘法,1 变换：设,是一个非空集合，若,是,就称,是,的一个变换.,2 变换集合：由,的全体变换
13、做成的集合,，由,的全体一一变换做成,.,记为,的集合记为,2020/9/24,100,4 变换乘法是,的代数运算，也是,的代数运算.,5 恒等变换,：,，,3 变换乘法：,，规定,，称,为,的乘法.,2020/9/24,101,变换群的概念,的全部变换如下,问：（1）,关于变换乘法是否做成群？,关于变换乘法是否做成群？,（2）,2020/9/24,102,解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，,事实上，,就没有逆元.因为如果,有逆元,.那么必有,且,.但是,而,导致矛盾，故,没有逆元.,不能成为群.,有单位元,. 那么“逆元”问题能解决吗？,因此,2020/9/24,103,（2）非空、代
14、数运算、结合律都满足，,，,的逆元是,的逆元是自身. 因此,例2 设,，并取定,，则易知,是,的一个非一一变换，,，从而,关于变换乘法做成群.,有单位元,成为群.,.,2020/9/24,104,定理1,设,为非空集合，,构成,的一个变换群.,关于变换的乘法,证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元,为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的,互逆的一一映射.,2020/9/24,105,2020/9/24,106,2020/9/24,107,2020/9/24,108,定义,称集合,上的一一变换群,表示,用,为n 次对称群.,当,n次对称群,是一个阶为,的有限群.,时，,2020/9/24,10
15、9,2020/9/24,110,2020/9/24,111,2020/9/24,112,2020/9/24,113,推论,任何 n 阶有限群都同 n 次对称群,的一个子群同构.,以上定理及推论表明: 任何抽象群都可以找到某个具体的变换群与它同构.,2020/9/24,114,置换群,定义：称有限集合的一一变换为置换.,置换,可表示为,其中,是,的全排列.,2020/9/24,115,例,设,求A的全体置换.,三次对称群为：,2020/9/24,116,注意：置换乘法没有交换律,是有限非交换群.,2020/9/24,117,置换群的概念,定义,次对称群,的任意一个子群，,次置换群，简称置换群.,
16、（由部分置换关于变换乘法做成的群）,都叫做一个,定理 任何n阶有限群都同一个n次置换群同构.,因为任何n阶有限群都与一个具体的n次,置换群同构，所以常用n次置换群来举有限群,的例子.,2020/9/24,118,循环置换及循环置换分解,定义,中的一个将,变到,，,变到,变回到,而其余元素（如果还有其他元素）不发生,变化的置换，叫做 k循环(置换)，(k-轮换）记为,前例中的3元置换都是循环置换，且,2020/9/24,119,注：并不是每个置换都是循环置换.,设,和,都是循环置换,如果,是不相连（不相交）的.,则称,与,不是循环置换，但,定义,2020/9/24,120,定理.,每个置换都可表成不
