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1、2.3.3 平面向量的坐标运算,2.3.4 平面向量共线的坐标表示,复习回顾,平面向量的坐标表示,如图， 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 为基底，则,这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作,其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， 式叫做向量的坐标表示。,平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？,探究：,如何计算？,（1）已知 =(x1 , y1), = (x2 , y2) ， 求 + , . （2）已知 =(x1 , y1)和实数 ， 求 的坐标 .,向量的坐标运算,说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差； 数乘向
2、量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。,例1.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 的坐标.,解：,=(x2,y2)(x1,y1) =(x2x1，y2y1)。,说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。,例2.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。,解：设M(x,y)是线段AB的中点，则,例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。,例3.已知ABCD的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。,解：,=(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2),所以D点的坐标是(2
3、, 2).,O,x,y,1,1,D(x,y),C(3,4),A(-2,1),A(-1,3),练习1. 设向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 .,解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0, 所以d=6a4b+4c=(2, 6).,2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量 ,设起始P(10,10), 则5秒钟后点P的坐标为( ).,解：5秒种后，P点坐标为 (10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).,3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足 (1) 为何值时,点
4、P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求的范围.,解: (1) 设P(x, y)，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5，y=7+4.,解得 =,(2) 由已知 5+50,7+40 ,所以1.,如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论?,向量 与非零向量 平行(共线)的等价条件是有且 只有一个实数 , 使得,设 即 中,至少有一个不为0 ,则由 得,这就是说: 的等价条件是,有且只有一个实数，使得,即：（x2 , y2) =(x1 , y1),=(x1 , y1),所以,消去得： x1y2- x2 y1=0,其中,x1y2- x2
5、y1=0,平面向量共线的坐标表示,向量共线的充要条件的两种表示形式:,x1y2- x2 y1=0,有且只有一个实数,使得,(1),口诀：交叉相乘相等！,典型例题,例2 已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：A、B、C三点共线.,典型例题,例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。 （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。,x,y,O,P1,P2,P,(1),M,解: (1),所以，点P的坐标为,(2),例4:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。 （1）当点P是线段
6、P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。,直线l上两点 p1 、 p2，在l上取不同于 p1 、p 2的任一点P，则P点与p1 p2的位置有哪几种情形？,能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定的取值范围吗？,存在一个实数，使 ，叫做点P分有向线 段 所成的比,设 ， ，P分 所成的比为 ，如何 求P点的坐标呢？,有向线段 的定比分点坐标公式,有向线段 的中点坐标公式,(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和； (2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差； (3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；,小结,1、向量平行(共线)的两种形式:,记公式：近水楼台多得月,
