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1、2.3.3 平面向量的坐标运算,2.3.4 平面向量共线的坐标表示,复习回顾,平面向量的坐标表示,如图, 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量,若以 为基底,则,这里,我们把(x,y)叫做向量 的(直角)坐标,记作,其中,x叫做 在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标, 式叫做向量的坐标表示。,平面向量可以用坐标表示,向量的运算可以用坐标来运算吗?,探究:,如何计算?,(1)已知 =(x1 , y1), = (x2 , y2) , 求 + , . (2)已知 =(x1 , y1)和实数 , 求 的坐标 .,向量的坐标运算,说明: 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差; 数乘向
2、量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。,例1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),求向量 的坐标.,解:,=(x2,y2)(x1,y1) =(x2x1,y2y1)。,说明:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。,例2.在直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。,解:设M(x,y)是线段AB的中点,则,例3得到的公式,叫做线段中点的坐标公式,简称中点公式。,例3.已知ABCD的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4),求顶点D的坐标。,解:,=(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2),所以D点的坐标是(2
3、, 2).,O,x,y,1,1,D(x,y),C(3,4),A(-2,1),A(-1,3),练习1. 设向量a=(1,3),b =(2,4),c =(1,2),若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为 .,解: 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0, 所以d=6a4b+4c=(2, 6).,2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量 ,设起始P(10,10), 则5秒钟后点P的坐标为( ).,解:5秒种后,P点坐标为 (10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).,3.设A(2, 3),B(5, 4),C(7, 10) 满足 (1) 为何值时,点
4、P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求的范围.,解: (1) 设P(x, y),则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5,y=7+4.,解得 =,(2) 由已知 5+50,7+40 ,所以1.,如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论?,向量 与非零向量 平行(共线)的等价条件是有且 只有一个实数 , 使得,设 即 中,至少有一个不为0 ,则由 得,这就是说: 的等价条件是,有且只有一个实数,使得,即:(x2 , y2) =(x1 , y1),=(x1 , y1),所以,消去得: x1y2- x2 y1=0,其中,x1y2- x2
5、y1=0,平面向量共线的坐标表示,向量共线的充要条件的两种表示形式:,x1y2- x2 y1=0,有且只有一个实数,使得,(1),口诀:交叉相乘相等!,典型例题,例2 已知点A(1,3), B(3,13),C(6,28) 求证:A、B、C三点共线.,典型例题,例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 。 (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。,x,y,O,P1,P2,P,(1),M,解: (1),所以,点P的坐标为,(2),例4:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 。 (1)当点P是线段
6、P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。,直线l上两点 p1 、 p2,在l上取不同于 p1 、p 2的任一点P,则P点与p1 p2的位置有哪几种情形?,能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定的取值范围吗?,存在一个实数,使 ,叫做点P分有向线 段 所成的比,设 , ,P分 所成的比为 ,如何 求P点的坐标呢?,有向线段 的定比分点坐标公式,有向线段 的中点坐标公式,(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和; (2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差; (3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数;,小结,1、向量平行(共线)的两种形式:,记公式:近水楼台多得月,