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1、第一章 集合与函数概念,第二章 基本初等函数,第三章 函数应用,数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离 华罗庚,图示法,一、知识结构,一、集合的含义与表示,1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合,2、元素与集合的关系：,3、元素的特性：确定性、互异性、无序性,（一）集合的含义,(二)集合的表示,1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在 内,2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在x| 内,3.图示法 Venn图,数轴,二、集合间的基本关系,1、子集：对于两个集
2、合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集. 若集合中元素有n个，则其子集个数为 真子集个数为 非空真子集个数为,2、集合相等：,3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,2n,2n-1,2n-2,三、集合的并集、交集、全集、补集,全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示,A,B,0或2,题型示例,考查集合的含义,考查集合之间的关系,考查集合的运算,1,2,3,4,5,3,返回,1.设 , 其中 ,如果 ，求实数a的取值范围,扩展提升,2.设全集为R，集合 ， （1）求： AB，CR(AB)；（数轴法） （2）若集合 ,满足 ，求实
3、数a的取值范围。,练习,1.集合A=1,0,x,且x2A,则x 。,3.满足1,2 A 1,2,3,4的集合A的个数有 个,-1,B,3,函数的复习主要抓住两条主线,1、函数的概念及其有关性质。,2、几种初等函数的具体性质。,函数,函数知识结构,B,C,x1 x2 x3 x4 x5,y1 y2 y3 y4 y5,y6,A,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,一、函数的概念：,思考:函数值域与集合B的关系,二、映射的概念,设A,B是两个非空的集合,
4、如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射,映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一,函数的定义域：,使函数有意义的x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零. 2、偶次方根的被开方数不小于零. 3、零次幂的底数不为零. 4、对数函数的真数大于零. 5、指、对数函数的底数大于零且不为1.,6、实际问题中函数的定义域,（一）函数的定义域,1、具体函数的定义域,1.【-1,2）（2，+） 2.（-，-1）（1，+） 3.（34,1】,练习：,2、抽象函数的定义域,1）已知函数y=
5、f(x)的定义域是1，3，求f(2x-1)的定义域,2）已知函数y=f(x)的定义域是0，5)，求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域,3),1.1,2 ; 2.1,4); 3. - ,思考：若值域为R呢？,分析：值域为R等价为真数N能取（0，+）每个数。 当a=0时，N=3只是（0，+）上的一个数，不成立； 当a0时，真数N取（0，+）每个数即,求值域的一些方法：,1、图像法，2 、 配方法，3、分离常数法，4、换元法，5单调性法。,1),2),3),4),三、函数的表示法,1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法,例10求下列函数的解析式,待定系数法,换元法,赋值法,构造方
6、程组法,(4) 已知 , 求 的解析式,配凑法,增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。,注意,三、函数单调性,定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2) ，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。,写出常见函数的单调区间 并指明是增区间还是减区间,用定义证明函数单调性的步骤:,(1) 设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1x2;,(2) 作差， f(x1)f(x2) ;,(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式,(4)判号， 判断 f(x1)f(x2) 的符号；,（5）下
7、结论.,1. 函数f (x)=,2x+1, (x1),x, (x1),则f (x)的递减区间为( ),A. 1, ),B. (, 1),C. (0, ),D. (, 0,B,2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间4,+)上是增函数,求实数a的取值范围,3 判断函数 的单调性。,拓展提升复合函数的单调性,复合函数的单调性,复合函数的单调性由两个函数共同决定；,引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。 x增 g(x)增 y增:故可
8、知y随着x的增大而增大,引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。 x增 g(x)减 y增:故可知y随着x的增大而增大,复合函数的单调性,规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”,复合函数的单调性,例题：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3),解 设 y=log4u（外函数）,u=x24x+3（内函数）.由 u0, u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为x
9、|x1或x3. 当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.,解：设u=x24x+3 ，u=x24x+3=(x2)21, x3或x1，(复合函数定义域) x2 (u减) 解得x1.所以x(，1)时，函数u单调递减. 由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致，所以(，1)是复合函数的单调减区间. u=x24x+3=(x2)21, x3或x1，(复合函数定义域) x2 (u增)
10、解得x3.所以(3，+)是复合函数的单调增区间.,代数解法：,解: 设 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原复合函数的定义域为0 x2. 由于y=log13u在定义域(0，+)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1时单调增. 由 0 x2 （复合函数定义域） x1，(u增) 解得0 x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间. 又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2， (复合函数定义域) x1， (u减) 解得0 x2,所以0，1是原复合函数的单调增区间.,例2 求下列复合函数的单调区间
11、： y=log(2xx2),例题：求函数 的单调性。,解：设 ， f(u)和u(x)的定义域均为R 因为，u在 上递减，在 上递增。 而 在R上是减函数。 所以， 在 上是增函数。在 上是减函数。,例4：求 的单调区间.,解: 设 由uR, u=x22x1, 解得原复合函数的定义域为xR. 因为 在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由 xR, (复合函数定义域) x1， (u减) 解得x1.所以(，1是复合函数的单调增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区间.,复合函数的单调性小结,复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步
12、骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。,四、函数的奇偶性,1.奇函数:对任意的 ,都有,2.偶函数:对任意的 ,都有,3.奇函数和偶函数的必要条
13、件:,注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称!,定义域关于原点对称.,奇(偶)函数的一些特征,1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则 f(0)=0.,2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.,3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性,例12 判断下列函数的奇偶性,函数的图象,1、用学过的图像画图。,2、用某种函数的图象变形而成。,（1）关于x轴、y轴、原点对称关系。,（2）平移关系。,（3）绝对值关系。,反比例函数,1、定义域 . 2、值域,3、图象,k0,k0,二次函数,1、定义域 . 2、值域,3、图象,a0,a0,指数函数
14、,1、定义域 . 2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,y,x,o,1,y,x,o,1,对数函数,1、定义域 . 2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,1,1,在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：,(-,0)减,(-,0减,(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),公共点,(0,+)减,增,增,0,+)增,增,单调性,奇,非奇非偶,奇,偶,奇,奇偶性,y|y0,0,+),R,0,+),R,值域,x|x0,0,+),定义域,y=x-1,y=x3,y=x2,y=x,函数 性质,幂函数的性质,2,1,x,y,=,对号函数
15、(a0) 的性质及应用,.函数 (a0)的大致图像,x,y,0,获取新知,利用所掌握的函数知识,探究函数 (a0)的性质.,1. 定义域 2.奇偶性,(-,0) (0 ,+),奇函数 f(-x)=-f(x),3.确定函数 (a0)的单调区间,. 当x (0 ,+)时,确定某单调区间,. 当x (-,0)时,确定某单调区间,综上,函数 (a0)的单调区间是,单调区间的分界点为:,a的平方根,4.函数 (a0)的大致图像,x,y,0,5.函数 (a0)的值域,运用知识,1.已知函数,2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值.,3.建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y. 写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时总造价y最低,是多少?,函数图象与变换 1平移变换 (1)水平方向的变换： yf(xa)的图象可由yf(x)的图象沿x轴向左平移(a0)或向右平移(a0)或向下平移(b0)|b|个单位而得到,2对称变换 (1)yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称 (
