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1、哈尔滨三中2018-2019 学年度下学期高二第一次 阶段性测试数学(文) 试卷 考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120 分，考试时 间 90 分钟 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、 试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.
2、若函数，则函数从到的平均变化率为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 对求导可得为一次函数，直接利用端点值求出中点值即为平均值。 【详解】由可得，因为为一次函数，所以平均值即为的中点值，易得 ，故平均值为，故选 B。 【点睛】本题考查导函数的几何意义（即在某点的导数为在该点处切线的斜率，也为函数在该点处的变化 率。 2.已知函数 ，且，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 将函数便可得到的解析式，然后利用便可得到的值。 【详解】 由题意可得，将带入可得，解得，故选 C。 【点睛】本题考查导函数的求解，直接利用求导公式便可直接得到结果。
3、 3.已知一个物体的运动方程为， 其中位移的单位是，时间 的单位是， 则物体的初速度为 （） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 本题利用物理知识可得即为时的速度，所以首先需要对位移的解析式求导便可得到关于速度与时间 的解析式，然后将代入，便可得到。 【详解】因为，可得， 所以，故选 D。 【点睛】本题考查位移S与速度 v 的关系：。 4.函数 ，的最大值是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 先对函数求导，确定函数在区间内的单调性，然后确定其最大值即可。 【详解】因为， 所以，易得当时，恒成立， 所以在闭区间内单调递减， 故当 时，取最大值，即
4、，故选 A。 【点睛】本题考查闭区间内函数最值问题，首先需要明白在闭区间内最值 极值，其次是当时不 一定单调递减，反之，当单调递减时，一定有。 5.已知点在曲线上移动，设曲线在点处的切线斜率为，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 点 P 在函数图像上移动即表示函数P 为函数图像上任意一点，所以直接对函数求导，然后找到导数的取值 范围即为切线斜率的取值范围。 【详解】因为，所以恒成立，故切线斜率，故选 B。 【点睛】本题考查倒数定义：函数在某一点的导数即为函数图像在该点切线的斜率。 6.函数 在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D.
5、【答案】 D 【解析】 【分析】 利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0 恒成立即可得到的取值 范围。 【详解】因为函数在连续可导且单调递增， 所以在恒成立， 分离参数得恒成立，即，故选 D。 【点睛】本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立。 7.如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是 （） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 本题可直接求出函数的单调区间，再根据题目中所告诉的区间内不单调，则极值点在该区间内，从而得出k 的值。 【详解】由题意得，函数定义域为 ，令，解得在定义域内， 当时，单调递减， 当时，单调递增，
6、 函数在区间内不单调，所以， 解得，又因为，得， 综上，故选 C。 【点睛】本题考查导函数与函数单调性，需注意函数定义域。 8.如果函数 有两个极值点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 对函数求导，根据函数有两个极值点可得有两个不等实根，从而得解。 【详解】由题意得，即， ， 因为函数有两个极值点，所以在有两个不等实根， ，解得 即，故选 B。 【点睛】本题考查导函数与极值的关系，求解这一类问题时，如果导函数可以转化为二次方程，则直接利 用二次函数根的分布求解，若不能转化为二次方程，尽可能用数形结合求解。 9.若存在，使得不等式成立，则实数的最大
7、值为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 设，则 当时，单调递减 当时，单调递增 存在，成立 ， ， 故选 点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导 数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础。 10.已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围 为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析：对任意的，不等式恒成立等价于 详解：由题意可得，且， 由于， 所以当时，函数在上单调递增， 则 , ， 所以， 故,，即，即 故选 A. 点睛：解答本题的关键是借助等价转化的数学思想，先
8、将问题等价转化为求函数， 在区间的最大值和最小值的问题。然后运用导数的知识先求函数的导数，在借助函数的单调性 求出其最大值和最小值，从而使得问题获解。 二、填空题（将答案填在答题卡相应的位置上） 11.函数 的单调递增区间为_. 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，然后令，确定极值点， 再讨论极值点两端导函数与0 的关系， 从而得到函数单调性。 【详解】由题意得， 令，解得或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增。 所以的单调递增区间为，。 【点睛】本题考查利用导函数求函数单调区间，需注意：当求出的单调区间分为几段时，每个区间之间只 能用逗号连接，不能用并集符号连接。
9、12.函数的极大值为 _. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意求出导函数，再令，确定极值点，再讨论极值点两端函数单调性，确定极大值。 【详解】根绝题意得：， 令，解得，或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以为极大值，为极小值。 综上，函数的极大值为。 【点睛】本题考查求函数极值，首先令导函数等于0，确定极值点，再分析极值点两边函数单调性，从而确 定极大值或极小值，切记不等价于函数取极值。 13.函数 的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题目求出函数的极大值和极小值，要使与有三个交点，则可得到的取值在极大值和极小 值之间
10、。 【详解】由题意得， 令，解得或，易得当时，单调递增， 当，单调递减， 当时，单调递增， 所以为极大值，为极小值， 所以。 【点睛】本题考查函数图像交点个数，一般通过函数的大致图像和极值点决定。 14.已知偶函数的导函数为，且满足，当时，使得的取值范 围为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 利用题目中已知的不等式构造出或的不等式， 从而找出新函数的单调性及零点，转而求不等式。 【详解】根据题意，令， ， 又因为，当时， 所以函数在为增函数， 又因为，所以， 所以当时， 又因为为偶函数，所以当时，可得， 综上的解集为。 【点睛】本题考查构造函数解不等式，必须熟记和，重点利用以上两种函数构造新函
11、数，从而 解出不等式。 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.已知曲线. ( ) 求曲线在处的切线方程； ( ) 求曲线过原点的切线方程 . 【答案】 ( ) ( ) 【解析】 【分析】 ( ) 直接利用导函数的定义便可得到函数在处切线的斜率，然后将代入点斜式方程可直接得出 切线方程。 ( ) 设出切点，利用点斜式写出直线方程，因为直线过原点，将原点坐标代入，可得到切点坐标，从而得 到切线方程。 【详解】 ( ) 由题意得，所以，可得切线方程为，整理 得。 ( ) 令切点为，因为切点在函数图像上，所以，所以在该点的 切线为 因为切线过原点，所以，解得，可得切点为， ，所以
12、切线方程为或。 【点睛】本题考查函数函数切线问题，若已知切点，则直接利用写出切线方程即可； 在此需要注意在某点的切线和过某点的切线的区别。 16.已知函数 ( ) 求的值； ( ) 求函数在区间上的最值 【答案】 ( ) ( ) 【解析】 【分析】 ( ) 对函数求导，然后利用函数在处取极值可得，再利用题意中的构造一个关于 的二元一次方程组，便可解出的值。 ( ) 需求函数在闭区间的最值，首先需要利用导函数导函数讨论函数在该区间内的单调性，若函数在该 闭区间内单调，则最值在闭区间的端点处取值，若函数不单调，则需比较极值和端点值得大小。 【详解】 ( ) 由题意得，定义域为 因为在处有极值， 所
13、以，解得； ( ) 由( ) ，所以， 令， 在定义域内解得， 当时， 所以单调递减； 当时， 单调递增，当，易得， 所以当时，。 【点睛】本题考查函数在闭区间内的最值问题，需要利用导函数导函数讨论函数在该区间内的单调性，若 函数在该闭区间内单调，则最值在闭区间的端点处取值，若函数不单调，则需比较极值和端点值得大小。 17.已知函数 ，讨论函数的单调区间 . 【答案】见解析 【解析】 【分析】 对求导，然后对分类讨论分别得出所对应的的取值范围即为函数的单调增区间，所 对应的的取值范围即为函数的单调减区间。 【详解】由题意得函数定义域为， 当时，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增。 同理
14、当时，当时，单调递减； 当时，单调递增。 当时，在定义域内大于0 恒成立，所以在单调递增 【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于0 或者 小于 0 讨论函数单调性，分类时一般利用有无解对参数进行分类。 18.已知函数 （1）讨论函数的单调性。 （2）若函数有两个极值点恒成立，求的取值范围 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】 【分析】 (1)由题意知，求得函数的导数，令 ，则， 分类讨论即可求解函数的单调区间； (2)由(1)得， 化简， 令，则， 令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而可求解实数的范围。 【详解】 (1)由题意知，函数的定义
15、域是， ，令，则， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时， ，方程有两个不同的实根，分别设为，不妨令， 则，此时， 因为当时，当时， ，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单 调递增 综上，当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增 (2)由(1)得在上单调递减， 则， 令，则， 令，则， 故在上单调递减且， 故，即， 而，其中， 令，所以在上恒成立， 故在上单调递减，从而， 故 的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、 逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值， 进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为 函数的最值问题
