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1、 1 数学分析专题研究模拟试题及参考答案 一、单项选择题 1A，B，C 是三个集合，CBA，则有（ ）成立。 A. 若Ax，则Bx B. 若Ax，则Cx C. 若Ax，则CBx D. 若CBx，则Ax 答案：D 2 设12)( 2 +=xxxf则RRf:是（ ） A. 双射 B. 既非单射也非满射 C.单射而非满射 D. 满射而非单射 答案：B 3下列数集（ ）不是可列集. A自然数集 B整数集 C有理数集 D实数集 答案：D 4已知函数)(xfy =在) 1 , 0(内可导，且)(x f 在) 1 , 0(内连续，则)(xf在) 1 , 0(内（ ）. A连续 B间断 C有界 D无界 答案：
2、A 5有界闭凸集S上的下凸函数)(xf的最大值必在S的（ ）达到. A内部 B外部 C边界S D可能是内部也可能在边界S 答案：C 二、填空题 1已知,dcBbaA=，则_= AB. 答案：),(),(),(),(bdadbcac 2设R为X中的关系，若R是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 . 答案：等价关系 3若集合A能与其任意真子集 1 A之间建立一个双射，则集合A是 . 答案：无限集 4= ix e . 答案：xixsincos + 5设 n n n x n xf = = 1 1 ) 1( )(，则ln(_)(=xf. 答案：x+1 三、计算题 1已知函数)(xf满足34) 1( 2
3、 +=+xxxf，求)(xf. 2 解：34) 1( 2 +=+xxxf 8) 1(6) 1( 2 +=xx 故86)( 2 +=xxxf 2求函数 x xxf 1 )(+=的极值. 解 令 0 1 1)( 2 = x xf 解得 1=x 3 1 2)( x xf= ，, 02) 1 (= f 故1=x是极小值点，2) 1 (=f是极小值 ； , 02) 1(= f 故1=x是极大值点，2) 1(=f是极大值。 四、证明题 1设)(xfy =是从 1 , 0到 1 , 0的连续函数，则存在点 1 , 0 0 x，使 n xxf 00) (=，其中n 是一个非零自然数. 证明：若0)0(=f或1
4、) 1 (=f，则 0 x可取为 0 或 1. 否则有0)0(f且, 1) 1 (f设 n xxfx=)()(，)(x是 1 , 0上的连续函数，且 0)0()0(= f，01) 1 () 1 (= f 由连续函数的介值定理知，至少有一点) 1 , 0( 0 x，使0)( 0 =x，即 n xxf 00) = （ 2设CBA,为三角形的三个内角，求证 8 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA . 证明 已知xsin在) 2 , 0( 内是上凸函数，故有 23 1 23 1 23 1 sin 2 sin 2 sin 2 sin 3 1CBACBA + 2 1 )( 6 1 sin=+=CBA 因此 8 1 ) 2 1 () 2 sin 2 sin 2 (sin 3 1 2 sin 2 sin 2 sin 33 =+ CBACBA 3
