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1、 1 中考复习专题：隐型圆中考复习专题：隐型圆 一、根据圆的定义作辅助圆一、根据圆的定义作辅助圆 例 1 如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABACADp，BCq，求 BD 的长 D C B A 例 2、 如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， 将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动 如 果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿 图中所示方向按滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路 线长为 _ 变式 1: 在矩形 ABCD 中，已知 AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为 2c
2、m 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两 个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形 的面积为_ 2 变式 2：如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E,F 分别为 AD,DC 边上的点，且 EF=2，G 为 EF 的中 点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为_ A B C D P E F G 变式 3：在平面直角坐标系中，点 A 的为坐标为（3，0），B 为 Y 轴正半轴上的点，C 是第一象限内的点， 且 AC=2，设 tanBOC=m，则 m 的取值范围为_ 变式 4：如图，在矩形 ABCD 中，AB4
3、，AD6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 上的动点，将EBF 沿 EF 所在直线折叠得到EBF，连接 BD，则 BD 的小值是_ 式 5：在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点， 将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_ 变式 6：如图，在ABC 中，ACB=90，AB=5，BC=3,是 AB 边上的动点（不与点 B 重合） ，将BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到BCP，连接 BA，则 BA 长度的最小值是_ 3 变式 7：如图，在平行四边形 ABC
4、D 中，BCD=30，BC=4，CD=,M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边 上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是 _ 练习：如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，M 是边 CD 上一点，将ADM 沿直线 AM 对折，得到ANM （1）当 AN 平分MAB 时，求 DM 的长； （2）连接 BN，当 DM=1 时，求ABN 的面积； （3）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值 4 2.2.共端点两条线段为定共端点两条线段为定长长 在ABC 中，AC=4,AB=5,则ABC 面积的最大值为_ 变式 1：已
5、知在四边形 ABCD 中，AD+DB+BC=16，则四边形 ABCD 面积的最大值为_ . 变式 2：在ABC 中，AB=3，AC= 当B 最大，BC 的长是_. 3.3.共端点三条线段为定长共端点三条线段为定长 引列引列 如图，已知 AB=AC=AD, CBD=2BDC，BAC=44，则CAD 的度数为_. 引列图 变式 1 图 5 变式变式 1 1：如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2，则 BD=_. C AB 变式 2 图 变式 3 图 变式变式 2 2：如图，在等腰ABC 中，AC=BC，C=70，点 P 在ABC 的外部，且与点 C 均在 AB 的同
6、 侧.如果 PC=BC，那么APC=_ . 变式变式 3：如图，在OAB 中，OA=OB，AOB=15.在OCD 中，OC=OD, COD=45，且点 C 在 OA 边上.连接 CB，将线段 OB 绕着点 O 逆时针旋转一定角度得到线段 OE，使得 DE=OE,则BOC 的 度数为_. 知识知识架构架构 如图，点 A(2,0),B(6,0),CBx 轴于点 AC，在 y 轴正半轴 求作点 P,使APB=ACB.(尺规作图，保 留作图痕迹) y OAB C x 归纳：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧归纳：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧 6 方法：见直
7、角方法：见直角 找斜边（定长）找斜边（定长） 想直径想直径 定外心定外心 现“圆”形。现“圆”形。 引例引例 已知 A,B 两点在直线 L 的异侧，在 L 上求作点 P，使PAB 为直角三角形， （尺规作图，保留 痕迹） l A B 变式变式 1 1：如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH BD 于点 H，连接 AH，则 AH 的最小值为_. A C B D H 变式变式 2 2：如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，动点 E 从点 A 出发向点 D 运动，同时动点 F 从点 D 出发向点 C 运 动，点 E，F
8、 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF,BE 相交于点 P，则线 段 DP 的最小值为_. 7 变式变式 3 3：直线 y=x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 M，N,边长为 2 的正方形 OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点， 直线 AN 与 MC 相交于 P.若正方形绕着点 O 旋转一周，则点 P 到点（0,2）长度的最小值是_. 方法三：见定角找对边（定长）想周角转心角现“圆”形方法三：见定角找对边（定长）想周角转心角现“圆”形. . 问题提出问题提出 ：如图，已知线段 AB，试在平面内找到符合所有条件的点 C，ACB=30（利用直尺和圆规作 图，保留作
9、图痕迹，不写作法） AB 自主探索自主探索 1 1：在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0） ，B（-1.0） ，C 是 y 轴上一动点.当BCA=45时， 点 C 的坐标为_ . 2 3 4 5 -1 -2 56 1 B -1 o 42 1 3 -3 -4 -5 x A y 2 3 4 5 -1 -2 56 1 B -1 o 42 1 3 -3 -4 -5 x A y 自主探索 1 图 自主探索 2 图 自主探索自主探索 2 2：在平面直角坐标系中，已知点 A（3,0） ，B（-1,0） ，C 是 y 轴上一动点.当BCA=60时， 点 C 的坐标为_. 8 2 3 4 5 -1 -2 56
10、 1 B -1 o 42 1 3 -3 -4 -5 x A y 2 3 4 5 -1 -2 56 1 B -1 o 42 1 3 -3 -4 -5 x A y 自主探索 3 图 自主探索 4 图 自主探索自主探索 3 3：在平面直角坐标系中，已知点 A（3,0） ，B（-1,0） ，C 是 y 轴上一动点.当BCA=120时， 点 C 的坐标为_. 自主探索自主探索 4 4：在平面直角坐标系中，已知点 A（3,0） ，B（-1,0） ，C 是 y 轴上一动点.当BCA=135时， 点 C 的坐标为_. 变式变式1 1： 如图， B是线段AC的终点， 过点C的直线l于AC成60角， 在直线l上取
11、一点P， 使APB=30， 则满足条件的点 P 的个数是_. 变式 1 图 变式变式 2 2：如图，在边长为 2的等边ABC 中，动点 D，E 分别在 BC，AC 边上，且保持 AE=CD， 连接 BE，AD，相交于点 P，则 CP 的最小值为_. 9 变式变式 3 3：如图，点 A 与点 B 的坐标分别是 A（1,0） ，B（5,0） ，P 是该平面直角坐标系内的一个动点. （1）使APB=30的点 P 有_个 （2）若点 P 在 y 轴上，且APB=30，求满足条件的点 P 的坐标 （3）当点 P 在 y 轴上移动时，APB 是否存在最大值？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由
12、. 变式变式 4 4: : （1）请利用以上操作所获得的经验，在图的矩形 ABCD 内部用直尺于圆规作出一点 P,使点 P 满足： BPC=BEC，且 PB=PC。 （要求:用直尺与圆规作出点 P，保留作图痕迹） DA BC E 图 图 （2）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点 B，坐标为（2，m） ，过点 B 作 ABy 轴，BCx 轴，垂足分别为 A，C 若点 P 在线段 AB 上滑动（点 P 可以与 A,B 重合） ，发现使得OPC=45的位置有 两个，则 m 的取值范围为_. 10 变式变式 5 5：如图，已知抛物线 y=ax+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（
13、4，0）两点，与 y 轴 交于点 C（0，2） ，连接 AC，BC。 （1）求抛物线的解析式； （2）若 BC 的垂直平分线交抛物线于 D，E 两点，求直线 DE 的解析式； （3）若点 P 在抛物线的对称轴上，且CPB=CAB，求出所有满足条件的点 P 的坐标。 C ABO x y 二二、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆 例 如图，在ABC 中，ABAC3，D 是边 BC 上的一点，且 AD，求 BDDC 的值 A B C D 三三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆 例 1 如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，
14、B90，设 ABa，DCb，ADc，当 a、b、c 之间满 足什么关系时，在直线 BC 上存在点 P，使 APPD？ A B C D P 11 例 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，给定 y 轴正半轴上的两点 A (0，8)、B(0，2)，试在 x 轴正半 轴上求一点 C，使ACB 取得最大值。 例 3 已知 RtABC 中，AC5，BC12，ACB90，P 是边 AB 上的动点，Q 是边 BC 上的动点， 且CPQ90，求线段 CQ 的取值范围 A C B P Q 四四、四点共圆、四点共圆 判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆； （2）同底同侧顶角相等的两个 三角形的四个顶点共圆判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题 例 1 如图，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交ABC 的外角平分线于点 F，求 证
