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1、 1 1 数列通项与求和数列通项与求和 一、一、数列的通项数列的通项 方法总结：方法总结： 对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根 据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则： 对于同时出现 n a,n, n S的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者 同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式； 利用 1 = nnn SSa关系消掉 n S（或者 n a），得到关于 n a和n的等式，然后用传统的求通 项方法求出通项； 根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列； 对于出现
2、 2 n a或 2 n S（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提 取公因式法；遇到 1+ nn aa时还会两边同除 1+ nn aa. 1. 规律性形式求通项规律性形式求通项 1-1.数列an满足 an+1=，若 a1=，则 a2016的值是（ ） A B C D 1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特（Benoit BMandelbrot）在 20 世纪 70 年 代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路下图按照 的分形规律生长成一个树形图，则第 12 行的实心圆点的个数是（ ） A55 B89 C144 D233 1
3、-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数 且两端的数均为（n2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如， 2 2 ，则第 10 行第 4 个数（从左往右数）为（ ） A B C D 2.出现出现 n a,n, n S的式子的式子 1-4.正项数列an的前项和an满足: 222 (1)()0 nn snnsnn+= (1)求数列an的通项公式 an; (2)令 () 22 2 1 n n an n b + + =,数列bn的前n项和为 n T.证明:对于任意的 * nN,都有 5 64 n T . 1-5.设数列 n a的前n项和为 n
4、 S.已知 1 1a =, 2 1 212 33 n n S ann n + =, * nN. (1) 求 2 a的值; (2) 求数列 n a的通项公式. 3 3 1-6.已知首项都是 1 的两个数列 n a， ), 0( * Nnbb nn 满足02 111 =+ +nnnnnn bbbaba. (1)令 n n n b a c =，求数列 n c的通项公式； (2)若 1 3 = n n b，求数列 n a的前n项和 n S. 牛刀小试：牛刀小试： 1.已知数列 n a的前 n 项和为 Sn， 1 a1，且 1 22(1)(1)(*) nn nSnSn nnN + +=+，数列 n b满
5、 足 21 20(*) nnn bbbnN + +=，5 3 =b，其前 9 项和为 63. （1）求数列数列 n a和 n b的通项公式； 2.已知数列 n a的前 n 项和为 n S,且 11 11 ,. 22 nn n aaa n + + = (1)求 n a的通项公式; (2)设() * 2, nnn bnSnNMn bnN=，若集合恰有4个元素,求实数的取值范 围. 4 4 3.需构造的（证明题）需构造的（证明题） 1-7.已知数列 n a的前n项和为 n S,且满足02 1 =+ +nnn SSa()2n, 2 1 1 =a. (1) 求证: n S 1 是等差数列; (2)求 n
6、 a表达式； 1-8.设数列an的前 n 项和为 Sn，且首项 a13，an+1=Sn+3n（nN*） （1）求证：Sn3n是等比数列； （2）若an为递增数列，求 a1的取值范围 牛刀小试牛刀小试 1已知数列 n a中，= 1 a 3 2 ，= +1n a)( 1 2 + Nn a a n n （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）求数列 n a n 的前 n 项和为 n S 5 5 2.数列 n a中，= 1 a1，= +1n a)( 12 2 4 1 1 =Nn a b a n n n ， （1）求证：数列 n b是等差数列； 二、二、数列求和与放缩数列求和与放缩 数列求
7、和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才 可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数 （分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎么去放缩是重点， 一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。 2-1. 数列 n a 满足 )( 2 2 1 2 , 2 1 11 + + + + =Nn an a aa n n n n n . （1）设 n n n a b 2 = ，求数列 n b 的通项公式. （2） 设 () 1 1 1 + + = n n ann c ， 数列 n
8、 c 的前 n 项和为 n S ， 不等式 n Smm 4 1 4 1 2 对一切 Nn 成立， 求 m 的范围. 2-2.设数列 n a满足 1 0a =且 1 11 1. 11 nn aa + = （1）求 n a的通项公式； （2）设 1 1 1 ,1. n n nnkn k a bbS n + = = 记S证明： 6 6 2-3 2-4 2-5 牛刀小试：牛刀小试： 7 7 1.已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn(1)n 1 4n anan1，求数列bn的前 n 项和 Tn. 三、三、数列与不
9、等式问题数列与不等式问题 在这类题目中一般是要证明( )或者一个常数nfan ， 一般思路有两种： 1.若an可求和 n S， 则可直接求出其和，再转化为 ( )nfSn，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若an 不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复 1 的过程。 1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么 办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项 开始放缩。 2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的n看做自变量， n a看做因变 量 =Nnnfan)(，用函数部分求
10、最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般 出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。 3-1.设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 n S满足() 22 3 nn SnnS+ () 2 30nn+=， nN . （1）求 1 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 ()()() 1122 1111 1113 nn a aaaaa + + . 8 8 3-2记公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S，9 3= S， 853 aaa，成等比数列 (1) 求数列 n a的通项公式 n a及 n S； (2) 若) 2
11、(2= n n n a c，n=1，2，3，问是否存在实数，使得数列 n c为单调递减数列？若存 在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由 牛刀小试：牛刀小试： 1.数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1 2 a =， 2 (1) nn Sn an n=(n * N). (1) 求 23 ,a a； (2) 求数列 n a的通项； (3)设 +1 1 n nn b S S =,数列 n b的前n项和为 n T,证明: 5 2 n T ( * nN). 2.设数列 n a的前n项和为 n S.已知 1 1a =, 2 1 212 33 n n S ann n + =, * nN. (1
12、) 求 2 a的值; 9 9 (2) 求数列 n a的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n,有 12 1117 4 n aaa +. 3. 数列作业数列作业 1.设数列 n a的前n项和为 n S，且44 2 +=nnSn， （1）求数列 n a的通项； （2）设 n n n a b 2 =，数列 n b的前n项和为 n T,求证：1 4 1 n T. 2.已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 1234 2,32.a aaa= (I)求数列 n a的通项公式； (II)设数列 n b满足)( 1 12321 * 1 321 Nna n bbbb n n = + + ，求数列 n b的前
13、n项和。 10 10 3.已知数列 n a的各项均为正数，其前n项和为 n S，且满足 11 1,21 nn aaS + =+，nN * . （1）求 2 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）是否存在正整数k, 使 k a, 21k S , 4k a成等比数列? 若存在, 求k的值； 若不存在, 请说明理 由. 4.已知 n S为数列 n a的前n项和，3 (1) nn Snan n=（ * nN），且 2 11a = （1）求 1 a的值； （2）求数列 n a的前n项和 n S； （3）设数列 n b满足 n n n b S =，求证： 12 2 32 3 n bbbn+.
14、5.设数列 n a的前n项和为 n S，且1=+ nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足：1 1 += n n a b，又 11 1 = nnn n bba c，且数列 n c的前n项和为 n T，求证： 3 2 n T. 11 11 6.已知数列bn满足 3(n1)bnnbn1，且 b13. (1)求数列bn的通项公式； (2)已知a n bn n1 2n3，求证： 5 6 1 a1 1 a2 1 an1. 7.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1；数列bn满足 bn1bnbnbn1(n2，nN*)，b1 1. (1)求数列an，bn的通项公式； (2)求数列 an bn 的前 n 项和 Tn. 8.设等差数列 n a的前 n 项和为 n S,且 42 4SS=, 2 21 nn aa=+. (1)求数列 n a的通项公式; (2)设数列 n b前 n 项和为 n T,且 1 2 n n n a T + +=(为常数).令 2nn cb= * ()nN.求数列 n c的前 n 项和 n R.
