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1、 1 第第 1 章章 二次函数二次函数 1.1 二次函数二次函数 【知识与技能】 1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的 一般形式. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量 的取值范围. 【过程与方法】 经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如 何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 【情感态度】 体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】 二次函数的概念. 【教学难点】 在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程. 一、情境导入，初步认识一、情境导入，初步认识
2、 1.教材 P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积 S(m 2）与相邻于围 墙面的每一面墙的长度 x(m)的关系式是 S=-2x 2+100 x,(0x50)； 电脑价格 y （元） 与平均降价率 x 的关系式是 y=6000 x 2-12000 x+6000,(0x1).它们有什么共同点? 一般形式是 y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a0)这样的函数可以叫做什么函数?二 次函数. 2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有. 二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知 2 二次函数的概念及一般形式 在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地
3、,形如 y=ax 2+bx+c(a, b,c 是常数,a0)的函数，叫做二次函数，其中 x 是自变量,a,b,c 分别是函数解 析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:二次函数中二次项系数不能为 0.在指出二次函数中各项系数时, 要连同符号一起指出. 三、典例精析，掌握新知三、典例精析，掌握新知 例 1 指出下列函数中哪些是二次函数. (1)y=(x-3) 2-x2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y= 2 2 x ；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是. 【教学说明】判定一个函数是否
4、为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是 2 次. 3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为 0. 例 2 讲解教材 P3 例题. 【教学说明】 由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例 3 已知函数 y=(m 2-m)x2+mx+(m+1)(m 是常数），当 m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数. 【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零, 列出相应方程或不等式. 解:(1)由 2 0 0 m m m = 得 01 0 m m = 或 , m=1.即当 m=1 时，函数 y=(m 2-m)x2+
5、mx+(m+1)是一次函数. (2)由 m 2-m0 得 m0 且 m1, 3 当 m0 且 m1 时，函数 y=(m 2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数. 【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二 次函数的一些实际应用中的二次函数解析式. 四、运用新知，深化理解四、运用新知，深化理解 1.下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2 1 23 y xx = + B.y=3x 3+2x2 C.y=(x-2)2-x3 D. 2 12yx= 2.二次函数 y=2x(x-1)的一次项系数是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若函数 2 32 (3)1 kk y
6、kxkx + =+ 是二次函数，则 k 的值为（ ） A.0 B.0 或 3 C.3 D.不确定 4.若 y=(a+2)x 2-3x+2 是二次函数，则 a 的取值范围是 . 5.已知二次函数 y=1-3x+5x 2,则二次项系数 a= ,一次项系数 b= , 常数项 c= . 6.某校九（1）班共有 x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共 握手 y 次，试写出 y 与 x 之间的函数关系式 ，它 （填“是” 或“不是”）二次函数. 7.如图,在边长为 5 的正方形中,挖去一个半径为 x 的圆 （圆心与正方形的中 心重合），剩余部分的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式
7、； （2）试求自变量 x 的取值范围； （3）求当圆的半径为 2 时，剩余部分的面积（取 3.14，结果精确到十分 位）. 【答案】1.D 2.D 3.A 4.a-2 5.5,-3,1 6. 2 11 22 yxx= 是 7.（1）y=25-x 2=-x2+25. (2)0 x52. 4 (3)当 x=2 时，y=-4+25-43.14+25=12.4412.4. 即剩余部分的面积约为 12.4. 【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后， 教师指导. 五、师生互动，课堂小结五、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数的有关概念. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些
8、新知识,还有哪些疑问?与同伴交流. 【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和 知识归纳. 1.教材 P4第 13 题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般 形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取 值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中. 5 1.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 第第 1 课时课时 二次函数二次函数 y=ax2(a0)的图象与性质的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数 y=ax2(a0)的图象，并根据图象认识、理
9、解和掌握其 性质. 2.体会数形结合的转化,能用 y=ax2(a0)的图象和性质解决简单的实际问 题. 【过程与方法】 经历探索二次函数 y=ax 2(a0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研 究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数 y=ax 2(a0)图象和性 质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画 y=ax 2(a0)的图象. 2.理解,掌握图象的性质. 【教学难点】 6 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程. 一、情一、情境导入，初步认识境导入，初步认识 问题问
10、题 1 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什 么?二次函数图象是什么形状呢? 问题问题 2 2 如何用描点法画一个函数图象呢? 【教学说明】 略；列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知 探究探究 1 1 画二次函数 y=ax 2(a0)的图象. 画二次函数 y=ax 2的图象. 【教学说明】要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图 y=x 2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学. 从列表和描点中,体会图象关于 y 轴对称的特征. 强调画抛物线的三个误区. 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变
11、化规律和发展趋 势. 如图(1)就是 y=x 2的图象的错误画法. 误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0,0)的 y=x 2的图象的错误画法. 误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要 向两旁无限延伸,而并非到某些点停止. 如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的 y=x 2图象的错误画法. 7 探究探究2 2 y=ax 2(a0)图象的性质在同一坐标系中， 画出y=x2, 2 1 2 yx=,y=2x 2 的图象. 【教学说明】 要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一 个函数图象的对称性.动脑筋观
12、察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数 y=ax2(a0)的图象和性质. 【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随 x 的增 大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调. y=ax 2(a0)图象的性质 1.图象开口向上. 2.对称轴是 y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点. 3.当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，简称右升；当 x0 时，y 随 x 的增大 而减小，简称左降. 三、典例精析，掌握新知三、典例精析，掌握新知 例 已知函数 2 4 (2) kk ykx + =+是关于 x 的二次函数. (1)求 k 的值. (2)k 为何值时，抛物
13、线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当 x 在哪 个范围内取值时，y 随 x 的增大而增大？ 【分析】此题是考查二次函数 y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定 义列出关于 k 的方程，进而求出 k 的值，然后根据 k+20，求出 k 的取值范围， 最后由 y 随 x 的增大而增大，求出 x 的取值范围. 解:(1)由已知得 2 20 42 k kk + += ,解得 k=2 或 k=-3. 所以当 k=2 或 k=-3 时，函数 2 4 (2) kk ykx + =+是关于 x 的二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以 k+20. 由（1）知 k=2，最低点是（
14、0,0),当 x0 时，y 随 x 的增大而增大. 四、运用新知，深化理解四、运用新知，深化理解 8 1.（广东广州中考）下列函数中，当 x0 时，y 值随 x 值增大而减小的是 （ ） A.y=x 2 B.y=x-1 C. 3 4 yx= D.y= 1 x 2.已知点（-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数 y=x 2的图象上，则（ ） A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y1y3 3.抛物线 y= 1 3 x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴 为 ，当 x=-2 时，y= ；当 y=3 时，x= ,当 x0 时， y 随 x 的增大而 ；当 x0 时
15、，y 随 x 的增大而 . 4.如图，抛物线 y=ax 2上的点 B，C 与 x 轴上的点 A（-5，0），D（3，0）构 成平行四边形 ABCD，BC 与 y 轴交于点 E（0，6），求常数 a 的值. 【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教 师及时指导. 【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y 轴， 4 3 ，3,减小，增大 4.解：依题意得：BC=AD=8，BCx 轴，且抛物线 y=ax 2上的点 B，C 关于 y 轴对称，又BC 与 y 轴交于点 E（0，6），B 点为（-4，6），C 点为（4，6）， 将（4，6）代入 y=ax 2得：a=3 8 . 五、五、师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数 y=ax 2(a0)图象的画法及其性质. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 1.教材 P7第 1、2 题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课是从学生画 y=x 2的图象， 从而掌握二次函数 y=ax
