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1、 1 1（1）数 a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。因数和倍数是相互 依存的，不能单独存在。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 2,2、3、5 的倍数特征 1） 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。 2）一个数各位 上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 3）个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。 4）能同时被 2、3、5 整除（也就是 2、3、5 的
2、倍数）的最大的两位数是 90，最小的三 位数是 120。 同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求 235=30 的倍数。 5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。 如：6 的因数有：1、2、3（6 除外） ，刚好 1+2+3=6，所以 6 是完全数，小 的完全数有 6、28 等 4：自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被 2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是 1、3、5、7、9 的数。 偶数：能被 2 整除的数叫偶数（0 也是偶数），也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数。
3、 2 最小的奇数是 1，最小的偶数是 0. 关系： 奇数+偶数=奇数 奇数+ 奇数=偶数 偶数+偶数=偶数。 奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数 偶数-偶数=偶数 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类. 质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。 合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1： 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 0： 最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）
4、100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100 以内找质数、合数的技巧： 看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系： 奇数奇数=奇数 质数质数=合数 6、最大、最小 A 的最小因数是：1； 最小的奇数是：1； A 的最大因数是：A； 最小的偶数是：0； A 的最小倍数是：A； 最小的质数是：2； 最小的自然数是：0； 最小的合数是：4； 3 7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法 分解质因数 （一
5、个合数写成几个质数相乘的形式）。 比如：30 分解质因数是： （30=235） 8、互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数：5 和 7 两个合数的互质数：8 和 9 一质一合的互质数：7 和 8 两数互质的特殊情况： 1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质； 两个质数一定互质； 2 和所有奇数互质； 质数与比它小的合数互质； 9、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） 几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么
6、较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的 最小公倍数。 如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数。 10、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 4 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 11、求最大公因数和最小公倍数方法 用 12 和 16 来举例 1、 求法一： （列举求同法） 最大公因数的求法： 12 的
7、因数有：1、12、2、6、3、4 16 的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是 4 最小公倍数的求法： 12 的倍数有：12、24、36、48、 16 的倍数有：16、32、48、 最小公倍数是 48 2、求法二： （分解质因数法） 12=223 16=2222 最大公因数是：22=4 （相同乘） 最小公倍数是：22 322= 48 （相同乘 不同乘） 二 分数的意义和性质 1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份， 这样的一份或几份都可以用分数来表示。 2、单位“1” ：一个整体可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1” 。 （也就是把什么
8、平均分什么就是单位“1” 。 ） 5 3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 5 4 的分 数单位是 5 1 。 4、分数与除法 AB= B A （B0，除数不能为 0，分母也不能够为 0） 例如： 45= 5 4 5、真分数和假分数、带分数 1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。 2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数1 3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数1。 6、真分数1假分数 真分数1带分数 7、假分数与整数、带分数的互化 （1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如： 5 10 =
9、105=2 5 21 =215=4 5 1 （2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如： 2= 4 8）（ 24=8 （8 作分子） （3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如： 5 5 1 = 5 26）（ 55+1=26 （4）1 等于任何分子和分母相同的分数。如： 1= 2 2 = 3 3 = 4 4 = 5 5 = 100 100 = 8、分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。 9、最简分数：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。 一个最简分数， 如果分母中除了 2 和 5
10、以外， 不含其他的质因数， 就能够化成有限小数。 6 反之则不可以。 10、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 如： 30 24 = 5 4 11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如： 5 2 和 4 1 可以化成 20 8 和 20 5 12、分数和小数的互化 （1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是 10；两位小数，分母是 100 如：0.3= 10 3 0.03= 100 3 0.003= 1000 3 （2）分数化为小数： 方法一：把分数化为分母是 10、100、1000 如： 10 3 =0.3 5 3 = 10
11、6 =0.6 4 1 = 100 25 =0.25 方法二：用分子分母 如： 4 3 =34=0.75 （3）带分数化为小数： 先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2 10 3 =2+0.3=2.3 13、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大； 分子相同，分母小的，分数大。 分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。 14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。 2 1 =0.5 4 1 =0.25 4 3 =0.75 5 1 =0.2 5 2 =0.4 5 3 =0.6 5 4 =0.8 8 1 =0.125 8 3 =0.375 8 5
12、=0.625 8 7 =0.875 20 1 =0.05 25 1 =0.04。 7 15、两个数互质的特殊判断方法： 1 和任何大于 1 的自然数互质。 2 和任何奇数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。 不相同的两个质数互质。 当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这 两个数也都是互质数。 16、求最大公因数的方法： 倍数关系： 最大公因数就是较小数。 互质关系： 最大公因数就是 1 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。 17、分数知识小结： （1）分数的意义：把单位“1”平均分为几份表示其中的一份或几份。（如
13、：把一根绳 子平均分为 5 份，其中的一份就是五分之一，两份就是五分之二。） （2）分数与除法 ：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。 （4）带分数：由整数和真分数组成，带分数一定是假分数。 （5）假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子） （6）分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不 变。 （7）最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数） 8 （8）通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同 分母的分数的过程，叫做通分。 通分的方法： 1、先求出原来几个分数的分母的最简公分母； 2. 根据分数的基本
14、性质，把原来分数化成以最简公分母为分母的分数。 【约分】 是对一个分数而言的， 求出分子分母的最大公约数， 然后分子分母 【同 除】这个最大公约数，约简得到相等的新分数，这个新分数，这个最简分数分子分母必 须是互质。 三 长方体和正方体 1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个 面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫 做长方体的长、宽、高。 长方体特点： （1）有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 （2） 一个长方体最多有 6 个面是长方形， 最少有 4 个面是长方形，
15、最多有 2 个面是正方形。 2、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 正方体特点： （1）正方体有 12 条棱，它们的长度都相等。 （2）正方体有 6 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。 （3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 9 相同点 不同点 面 棱 长方体 都有 6 个面， 12条 棱， 8个 顶 点。 6 个面都是长方形。 （有可能有两个相对的面是正方形） 。 相对的棱的长度都相等 正方体 6 个面都是正方形。 12 条棱都相等。 2、 长方体、正方体有关棱长计算公式： (a：长 b：宽 c:高 L：棱长总和 S：表面积 V：体积) 长方体的棱长总和=（长+宽+高）4长4+宽4+高4 L=（abh）4 长=棱长总和4宽 高 a=L4bh 宽=棱长总和4长 高 b=L4ah 高=棱长总和4长 宽 h=L4ab 正方体的棱长总和=棱长12 L=a12 正方体的棱长=棱长总和12 a=L12 4、长方
