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1、 / 100 1 第第 1 课时课时 二次根式的概念二次根式的概念 1了解二次根式的概念；(重点) 2理解二次根式有意义的条件；(重点) 3理解 a(a0)是一个非负数，并会应用 a(a0)的非负性解决实际问题(难点) 一、情境导入 1小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是 8 平方厘米，那 么它的边长是多少？ 2已知圆的面积是 6，你能求出该圆的半径吗？ 大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究 探究点一：二次根式的概念 【类型一】 二次根式的识别 (2015 安顺期末)下列各式： 1 2； 2x； x 2y2； 5； 3 5，其中
2、二次根式的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有满足题意故选 B. 方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：含有二 次根号“ ” ；被开方数为非负数两者缺一不可 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 【类型二】 二次根式有意义的条件 代数式 x1 x1 有意义，则 x 的取值范围是( ) Ax1 且 x1 Bx1 Cx1 且 x1 Dx1 解析：根据题意可知 x10 且 x10，解得 x1 且 x1.故选 A. 方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非 /
3、 100 2 负数； (2)若式子中含有多个二次根式， 则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数； (3) 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 4 题 探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知 a，b 满足 2a8|b1|0，求 2ab 的值； (2)已知实数 a，b 满足 a b2 2b3，求 a，b 的值 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可 解：(1)由题意知 2a80， b10， 得 2a8，b1，则 2ab9； (2)由题意知 b20， 2b0，解得
4、b2.所以 a0033. 方法总结：当几个非负数的和为 0 时，这几个非负数均为 0；当题目中，同时出现 a和a时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得 a0. 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当 x_时， 3x23 的值最小，最小值为_ 解析：由二次根式的非负性知3x20，当3x20 即 x2 3时， 3x23 的值最小，此时最小值为 3.故答案为2 3，3. 方法总结：对于二次根式 a0(a0)，可知其有最小值 0. 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 / 100 3 本节课的内容是在我们
5、已学过的平 方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念教学过程中，应鼓励学生积 极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件 第 2 课时 二次根式的性质 1理解和掌握( a)2a(a0)和 a2|a|；(重点) 2能正确运用二次根式的性质 1 和性质 2 进行化简和计算(难点) 一、情境导入 如果正方形的面积是 3，那么它的边长是多少？若边长是 3，则面积是多少？ 如果正方形的面积是 a， 那么它的边长是多少？若边长是 a， 则面积是多少？你会计算 吗？ 二、合作探究 探究点一：利用二次根式的性质进行计算 【类型一】 利用( a)2a(a0)计算 计算： (1)(
6、0.3)2; (2)( 13)2； (3)(2 3)2; (4)(2 xy)2. 解析： (1)可直接运用( a)2a(a0)计算， (2)(3)(4)在二次根号前有一个因数， 先利用(ab)2 a2b2，再利用( a)2a(a0)进行计算 解：(1)( 0.3)20.3； (2)( 13)2(1)2( 13)213； (3)(2 3)222( 3)212； (4)(2 xy)222( xy)24(xy)4x4y. 方法总结：形如(nm)2(m0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2a2b2，化为 n2( m)2(m0)后再化简 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题 【类型二
7、】 利用 a2|a|计算 计算： (1) 22； (2)（2 3） 2； (3) （）2. 解析：利用 a2|a|进行计算 解：(1) 222； (2)（2 3） 2|2 3| 2 3； / 100 4 (3) （）2|. 方法总结： a2|a|的实质是求 a2的算术平方根，其结果一定是非负数 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 9 题 【类型三】 利用二次根式的性质化简求值 先化简，再求值：a 12aa2，其中 a2 或 3. 解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答 解：a 12aa2a （a1）2a|a1|，当 a2 时，原式2|21| 211；当 a3 时，原式3|31
8、|347. 方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 10 题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合 如图所示为 a，b 在数轴上的位置，化简 2 a2 （ab）2 （ab）2. 解析： 由 a， b 在数轴上的位置确定 a0， ab0， ab0.再根据 a2|a|进行化简 解：由数轴可知2a1，0b1，则 ab0，ab0.原式2|a|ab|a b|2aab(ab)2a2b. 方法总结：利用 a2|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包 括两个步骤： 把被开方数的底数移到绝对
9、值符号中；根据绝对值内代数式的正负性去掉 绝对值符号 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题 【类型二】 与三角形三边关系的综合 已知 a、b、c 是ABC 的三边长，化简（abc）2（bca）2 （cba）2. 解析：根据三角形的三边关系得出 bca，bac，根据二次根式的性质得出含有 绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可 解：a、b、c 是ABC 的三边长，bca，bac，原式|abc|bc a|cba|abc(bca)(bac)abcbcabac3abc. 方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三 边)，得出不等关系，再结合二次根式
10、的性质进行化简 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题 三、板书设计 / 100 5 二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基 础 本节教学始终以问题的形式展开， 使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习 的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯性质 1 和性质 2 容易混淆，教师在教学中应注意 引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用 第第 1 课时课时 二次根式的乘法二次根式的乘法 1掌握二次根式的乘法运算法则；(重点) 2会进行二次根式的乘法运算(重点、难点) 一、情境导入 小颖家有一块长方形菜地，长 6m，宽 3m，那么这个长方形
11、菜地的面积是多少？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件 式子 x1 2x （x1）（2x）成立的条件是( ) Ax2 Bx1 C1x2 D1x2 解析：根据题意得 x10， 2x0. 解得1x2.故选 C. 方法总结：运用二次根式的乘法法则： a b ab(a0，b0)，必须注意被开方数是 非负数这一条件 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 探究点二：二次根式的乘法 【类型一】 二次根式的乘法运算 / 100 6 计算： (1) 5 3 27 125； (2)9 18(1 6 54)； (3)13 52 3( 3 4 1 6)； (4)2a 8ab(2 3
12、 6a2b) 3a(a0，b0) 解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式 前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘 解：(1)原式 5 3 27 125 3 5； (2)原式(91 6) 18543 2 182327 3； (3)原式(23 4) 8 53 1 6 3 2 4 5 3 5 5； (4)原式2a2 3 8ab6a2b3a16a3b. 方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相 乘，被开方数与被开方数相乘最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练
13、”第 4 题 【类型二】 逆用性质 3(即 ab a b，a0，b0)进行化简 化简： (1)1960.25； (2)（1 9）（ 64 81）； (3) 225a6b2(a0，b0) 解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定 符号 解：(1) 1960.25 196 0.25140.57； (2)（1 9）（ 64 81） 1 9 64 81 1 9 64 81 1 3 8 9 8 27； (3) 225a6b2 225 a6 b215a3b. 方法总结： 利用积的算术平方根的性质进行计算或化简， 其实质就是把被开方数中的完 全平方数或偶次方进行开平方计
14、算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符 号进行转化，如(2)小题 / 100 7 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题 【类型三】 二次根式的乘法的应用 小明的爸爸做了一个长为 588cm，宽为 48cm 的矩形木板，还想做一个与 它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号) 解析：根据“矩形的面积长宽”“圆的面积半径的平方”进行计算 解：设圆的半径为 rcm. 因为矩形木板的面积为 588 48168(cm)2， 所以r2168，r2 42(r2 42舍去) 答：这个圆的半径为 2 42cm. 方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应
15、的式子进行计算，体现了转化思想 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题 三、板书设计 本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质， 两者是可逆的， 它们成立的条件都 是被开方数为非负数 在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣， 让学生自主探究二次根 式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算 第第 2 课时课时 二次根式的除法二次根式的除法 1会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点) 2掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点) 3掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用(重点) 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1) 36 49_； 36 49_ (2) 9 16_； 9 16_ 36 49_ 36 49； 9 16_ 9 16. / 100 8 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 计算： (1) 48 72； (2) 6 12 5 18； (3) 27a2b3 12ab2 ； (4)1 2 a3b5(2 3 a2b6)(a0，b0) 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3) 被开方数相除时，注意约分；(4)系
