定价策略期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

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1、定价策略期权定价中的蒙特卡洛 模拟方法 定价策略期权定价中的蒙特卡洛 模拟方法 期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是 金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方 程法 偏微分方 程法、 鞅方法鞅方法和数值数值方法。 而数值方法又包括了二叉树方法、 有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质 是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到 期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不 依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 1. 预备知识 两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogo

2、rov)强大数 定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果 稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机 变量序列同分布的 Kolmogorov 强大数定律： 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定 律可知样本均值当 n 很大时以概率 1 收敛于总体均值。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种 情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际 问题。 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 其等价形式为。 Black-Scholes 期权定价模型 模型

3、的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬 时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套 利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分 形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足 如下的随机微分方程 则有 根据伊藤公式，当标的资产的运动

4、规律服从假设条件中 的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为 现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到 这个表达式就是表示期权价格变化的 Black-Scholes 偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美 式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条 件不同，其价值也不相同。 欧式看涨期权的终边值条件分别为 ， 通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权 的的解析解： 其中， ， ， ，为期权的执行日期，为期权的执行价格。 欧式看跌期权的终边值条件分别为 ， 此外，美式看涨期权的终值条件为，美式看跌期权的终 值条件为。然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可

5、 通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似 解。 风险中性期权定价模型 如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动 即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率。同理，根据 伊藤公式可以得到 对数正态分布的概率密度函数：设， ，则的密度函数为 根据上述公式，得到标的资产的密度函数如下 在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为： 接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边 第一个广义积分分别作变量替换 和，可以得到 再对等式的右边的第二个无穷积分，令 ，可求得 将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权 的价格公式为： 其中， ， 。 可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法

6、的结 果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。 基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概 率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风 险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便 是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风 险中性原理的期权数值定价方法。 2. 蒙特卡洛模拟方法及其效率 假设所求量是随机变量的数学期望，那么近似确定的蒙 特卡洛方法是对进行 n 次重复抽样，产生独立同分布的随机 变量序列，并计算样本均值 。那么根据 Kolmogorov 强大数定律有 。因此，当 n 充分大时，可用作为所求量的估计值。 由中心极限定理可得到估计的误

7、差。 设随机变量的方差， 对于标准正态分布的上分位数，有 这表明，置信水平对应的渐近置信区间是 。 实际上， 由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界， 其误差为，误差收敛速度是。 不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由和决定的。在对同 一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固 定，将 n 增大 100 倍；要么固定 n 将减小 10 倍。若两个随 机变量的数学期望， ，那么无论从或中抽样均可得到的蒙特 卡洛估计值。 比较其误差， 设获得的一个抽样所需的机时为， 那么在时间 T 内生成的抽样数，若使，则需使。因而，若要 提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数 n 或是减小方差，

8、应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所 耗费的机时，使方差与机时 t 的乘积尽量的小。 3. 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤 期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价 原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报 的贴现的期望值，即，其中的表示风险中性期望，r 为无风 险利率，T 为期权的到期执行时刻，是关于标的资产价格路 径的预期收益。 由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特 卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙 特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以 下几步（以欧式看涨期权为例）: (l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径 将

9、时间区间分成 n 个子区间，标的资产价格过程的离散 形式是 ， (2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险 利率求得回报的贴现 (3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本 (4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值 另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化 误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。 由于， m 条路径的收益均值为， m 条路径的方差为， 则可得 95% 的置信区间为。 例 1：假设无红利的股票 A，初始价格为￥6，价格过程 服从几何布朗运动，年预期收益率为 10%，收益率的波动率 为每年 25%，时间步长为 0.01 年（1 年为 100

10、时间步） ，给 定数据， ，以及100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径 如下： （1） （2） 图（1）蒙特卡洛方法模拟股票 A 价格路径，图（2）蒙 特卡洛方法模拟股票 B 价格路径。 若无红利的股票 B、C、D，其价格均为￥6，股票 B 的期 望收益率为 0.1， 波动率为 0.6； 股票 C 的期望收益率为 0.5， 波动率为 0.25； 股票 D 的期望收益率为 0.5，波动率为 0.6， 分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径 如下： （3） （4） 图（3）蒙特卡洛方法模拟股票 C 价格路径，图（4）蒙 特卡洛方法模拟股票 D 价格路径。 从图中可以看出， 股票 C

11、和股票 D 的价格上升速度较快， 而股票 B 和股票 D 的价格波动比较大。这是与股票 C 和股票 D 价格的期望收益率较高，股票 B 和股票 D 价格的波动率较 高相对应的。 欧式看涨期权，通过 Black-Scholes 公式计算得的精确 值为，蒙特卡洛模拟的价格为，其蒙特卡洛模拟图如下： （5） 上述同样的条件，路径由 100 逐渐增加到 1000000 条， 对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下 表所示： 各种路径下蒙特卡洛方法模拟的 95%置信区间 N模拟值置信区间 1004.31464.0112,4.6180 5004.22624.0962,4.3563 10004

12、.22134.1287,4.3139 20004.16334.0984,4.2281 50004.16954.1280,4.2111 100004.17874.1490,4.2083 500004.19604.1826,4.2094 1000004.18864.1791,4.1980 10000004.19144.1884,4.1944 4. 蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价 权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定 价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。权证发行 人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具 有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和 资源配置工

13、具。 现选取我国认股权证中的五粮 YGC1、马钢 CWB1、伊利 CWB1 为例，以 2006 年的价格作为样本区间模拟认股权证的 价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由 wind 数据库 给出的理论值进行比较。本例采用一年期短期利率 2.52%作 为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动 率。 现实中用等时间间隔观测股票价格序列，股票投资的连 续复利收益率， （） ，则的样本标准差。如果用日数据计算波 动率，则年度波动率按下式计算： 年度波动率日波动率*（每年的交易日数）1/2 将时间区间取为 2006 年 12 月 1 日2006 年 12 月 29 日 ， 则 由 蒙 特

14、卡 洛 方 法 模 拟 的 认 股 权 证 价 格 与 Black-Scholes 模型的精确值和市场价格比较的结果如下： 蒙特卡洛方法对五粮 YGC1 认股权证的模拟（） 日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值 12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.351 12-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.401 12-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.601 12-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613

15、.201 12-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.501 12-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.571 12-1 1 9.850 9.2258.951 12-2611.978 13.40613.231 12-1 2 9.825 10.60010.371 12-2713.001 14.36414.201 12-1 3 9.766 10.26010.021 12-2813.050 14.61214.451 12-1 4 10.589 11.33211.121 12-2914.500 16.19816.051 12-1 5

16、 10.849 12.02811.831 蒙特卡洛方法对马钢 CWB1 认股权证的模拟（） 日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值 12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.052 12-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.052 12-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.103 12-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.052 12-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.778 12-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.848 12-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.052 12-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.052 12-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.163 12-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.094 1