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1、5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,利用贝塞尔函数求解定解问题, 最终要把已知函数 按贝塞尔方程的特征函数系展开。,在5.1 ，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中， 导出了贝塞尔方程的特征值问题：,贝塞尔函数的零点,方程的通解为,令,方程转化为,从而,由于 , 由条件 知 ,由 可得:,关于贝塞尔函数零点的结论：,有无穷多个单重实零点, 这些零点在 x轴上关于原点对称分布, 因而 有无穷多个正的零点；,的零点和 的零点是彼此相间分布，即 的任意两个相邻零点之间有且仅有一个 的零点，反之亦然；,以 表示 的非负零点, 则,与这些特征值相应的特征函数为,方程 的解为：,即贝塞尔方程相应定解问题的特征值
2、为,贝塞尔函数的正交性,模值的平方,即,结论2：在区间0, R上具有一阶连续导数以及 分段连续的二阶导数的函数 f (r) 如果在 r=0 处 有界, 在 r =R 处等于零, 则它必可以展开为如下形式的绝对且一致收敛的级数：,其中,解：,P128. 12,=0,5.6 贝塞尔函数应用举例,例 设有半径为 1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为 其中 r 为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。,分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标. 考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只能是 t 和 r 的函数.,解 根据问题的要求, 即可归结为求
3、下列方程的定解问题：,由于 u 和 无关, 可以化简为问题,此外, 由问题的物理意义, 还有条件,且 时，,令,代入到上述方程, 有,由此得,解(1)得：, 时，,(2) 为零阶非标准的贝塞尔方程,由 u(r, t) 的有界性, 可以知道,即 是 的零点.,用 (n =1,2) 表示 的正零点, 综合以上结果可得:,它的通解为：,方程 的特征值为：,相应的特征函数为：,这时方程 的解为：,从而,由叠加原理, 可得原问题的解为,由初始条件得,其中,因为,令,所以,从而,课后作业,P127-128 习题五 11. 19.,补充：设 是一列函数。称它们是 标准正交的，如果有一个内积（双线性型）满足：,这里内积实际上是一个二元函数，通常用积分来表示。,
