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1、对二阶线性偏微分,主部,特征方程 : a11(dy)2- 2a12 dx dy + a22 (dx)2 = 0,解得:,令,积分 ,方程的化简与分类,特征方程的应用, 利用特征线法求解双曲方程, 自变量的非奇异变换, 特征方程的导出,例1 求一维齐次双曲型方程通解,令,特征线方程,特征方程的应用,从而,令,由,代入 utt = a2uxx 化简，得,通解 u(x, t) = f(x at ) + g(x + at ),二阶方程自变量的变换: a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f,自变量的非奇异变换,其中, , 是二次连续可微；,且,引入如下变换
2、,从而可将原方程化为,再考虑引例,其中,特征方程的导出,下面分三种情况来讨论：,1.在点(x0,y0)的某邻域内,如果=a122-a11a220, 存在两族相异的实特征线：,2.在点(x0,y0)的某邻域内,如果=a122-a11a22=0,3.在点(x0,y0)的某邻域内,如果=a122-a11a220,1. 由 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 构造二次方程,3. 写出新方程及通解,求解, 得,2. 构造线性变换,4. 将变换表达式代入得原方程通解,利用特征线法求解双曲方程,例2 求方程的通解 uxx+ 2uxy 3uyy = 0,=1(1)31(-1)+33= 8,通解:,解: 由特征方程,非奇异变换:,例3. 讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型,并化为标准型,再求通解.,特征方程,判别式:,构造变换:,a122 a11a22 = (xy)2 x2y2 = 0 故,该微分方程为抛物型。,x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0,a11,a12,a22,标准型:,通解:,习题 2.4(P.36) 1:(1)、(4) 2:(1)、(3)、 (6),
