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1、教 师： 冯 弢 办公室： 机械楼 N202 Email : ,1. 数学建模的概念和步骤,1.1. 数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类 1.5 . 数学建模竞赛介绍,数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去解决实际问题. 一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小时，问船速、水速是多少？ 解：设x为船速，y为水速，有 (x + y) 30 = 750 (x - y) 50 = 750 解之 x = 20 ，y = 5.,1.1 数学建模的概念,原型 : 人们在现实世界中关心、研
2、究、或从事生产、管理的实际对象. 模型 : 为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息进行简化、提炼而构成的原型替代物. 模型可以有很多类型：直观模型、物理模型、思维模型、数学模型等. 数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成， 描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法 注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解.,几个相关的概念,现实对象信息,数学模型,数学模型的解答,现实对象的解答,求解,演绎,解释,验证,现实对象与数学模型的关系,基于合理的假设通过数学语言来“描述实际现象”“近似实际问题”,建模的目的是解决实际问题, 实践是检验模型好坏的唯一标准,另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只，
3、已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？ 解：设笼中有鸡x只，有兔y只，有 x + y = 8 2x + 4y = 22 解之 x = 5 ，y = 3.,1.2 数学建模的步骤,根据问题的背景和建模的目的做出假设 用字母表示要求的未知量 根据已知的常识列出数学式或图形等 求出数学式子的解答 验证所得结果的正确性,数学建模的步骤：,模型准备 模型假设 模型构成 模型验证 模型分析 模型求解 模型应用,数学建模的步骤：,椅子能在不平的地面上放稳吗？,把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就 可以使四只脚同时着地，放稳了. 使用数学的语言，
4、解释这种现象！,1.3 一个数学建模实例,模型假设: 1、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形 (对椅子的假设) 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断，没有像台阶那样的情况，即地面可视为数学上的连续曲面 (对地面的假设) 3、地面相对平坦，椅子放在地面上总至少可以有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系的假设）,模型构成: 首先 用变量表示“椅子的位置”. 正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示“椅子的位置”.,图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角线.,模型构成: 其次
5、要用数学符号表示“椅脚着地”. 椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量 的函数.,虽然椅子有四只脚，因而有四个不同的距离，但由于正方形的对称性，只要设两个距离就行了. 记 f()为A、C两脚与地面的距离之和； g()为B、D两脚与地面的距离之和.,模型构成: f()： A、C两脚与地面的距离之和；g()：B、D两脚与地面的距离之和.,f()0、 g()0，都是的连续函数 (由假设2) 对任意，有f()、 g()中至少有一个为0 (由假设3) 不妨设当 = 0时，f()0、 g()=0 故此本问题归为证明如下数学命题：,数学命题 (本问题的数学模型): 已知f()、
6、 g()都是关于的非负连续函数,如果对任意的，都有 f() g() = 0，且f(0) 0、 g(0) = 0 ，则存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型求解: 证明：令h() = f() - g(),由于h()是闭区间0, /2上的连续函数，必存在 0 (0, /2), 使h(0)=0， 即存在0, 使f(0) = g(0)=0.,由 f(0)0， g(0)=0 ，有h(0) 0. 将椅子旋转90使得对角线AC与BD互换, 有 f(/2) =0， g(/2) 0, 因此 ， h(/2) 0,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分：,1.4 数学模型的分类,3）按模型的应
7、用领域（或所属学科）分: 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等.,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分: 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等.,5）按建模目的分: 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等.,6）按对模型结构的了解程度分: 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等. 灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等. 黑箱模
8、型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等.,1983年，美国一些有识之士探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性. 经过论证、争论、争取资金等过程，1985年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛, 它由美国工业与应用数学学会和美国运筹学学会联合主办. 从1985年起，每年举行一届，时间定为每年的二月的某个星期五到星期一举行. 美国大学生数学建模竞赛欢迎其他国家的大学组队参加，因此，在某种意义上它已经是国际赛事了.,1.5 数学建模竞赛介绍,通过数学建模竞赛活动，提高学生运用数学理论和方法、利用文献、计算机等工具分析和解决实际问题的能力，鼓励学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识
9、面，丰富校园学术氛围，培养学生的创新思维，合作精神. 促进学科交叉.,数学建模竞赛宗旨,中国大学生数学建模竞赛,1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),网址：,奖励：全国一等奖 (约2%)、全国二等奖 (约7%) 教育部高教司和CSIAM共同签章,1999年起竞赛分为甲组(本科)、乙组(高职高专组),优秀论文刊登于次年工程数学学报( 2000年前为数学的实践与认识),内容,赛题：工程、管理中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文,形式,3名大学生组队，在3
10、天内完成的通讯比赛,可使用任何材料(图书/互联网/软件等)，但不得与队外任何人讨论(包括上网讨论),宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,数学建模竞赛内容与形式,2003-2008年数学建模竞赛题目,北京交通大学的数学建模竞赛：一年有 4 次： 校内竞赛：每年5月下旬进行 全国大学生建模竞赛：每年9月下 旬进行 电工数学建模竞赛：每年11月底进行 美国大学生数学建模竞赛：每年2月进行,报名参赛时间： 每年4月20日至5月27日，在学校的数学建模网站上报名,思考题 安全渡河问题,三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳
11、 二人，由他们自己划行. 随从们密约，在河的任一岸，一旦 随从的人数比商人多，就杀人越货. 但是如何乘船渡河的大 权掌握在商人们手中. 商人们怎样才能安全渡河呢？,模型假设： 问题已经理想化了！,模型构成：,xk : 第k次渡河前此岸的商人数,yk : 第k次渡河前此岸的随从数,xk , yk = 0, 1, 2, 3; k = 1, 2, ,sk = (xk , yk): 状态,S=(x , y) x = 0, y = 0, 1, 2, 3; x = 3, y = 0, 1, 2, 3; x = y = 1, 2,S: 允许状态集合,求 dk D (k = 1, 2, n), 使 sk S, 并按转移律由 s1 = (3, 3) 到达 sn+1 = (0, 0). (当然 n 越小越好),故本问题归为求解如下数学问题：,uk : 第k次渡船上的商人数,vk : 第k次渡船上的随从数,dk = (uk , vk) : 决策,D=(u , v) u + v = 1, 2: 允许决策集合,uk, vk = 0, 1, 2; k = 1, 2, ,: 状态转移律,模型求解:,结论：共有四种最佳方案，经过11次可安全过河. 此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计算机编程来实现.,这是一个多步决策问题！,
