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1、1,第二篇 运动稳定性,2,第一章 基本定义 第二章 运动稳定性基本定理 第三章 自治系统的稳定性 第四章 周期运动稳定性,内 容,3,陆启韶，常微分方程的定性方法与分叉， 北航出版社，1989 王照林，运动稳定性及其应用， 高教出版社，1992 秦元勋等，运动稳定性理论与应用， 科学出版社，1981 张锦炎，常微分方程集合理论与分叉问题， 北大出版社，1987,参考教材,4,第一节 问题的提出,第一章 基本定义,第二节 扰动方程,5,设力学系统的运动微分方程为,并且满足解的存在唯一条件。,第一节 问题的提出,(2.1),t 时间，ys 相空间坐标，Ys t, ys的实函数，定义域：,(2.2
2、),6,定义1. 任给0, 存在 0，使当| ys0 |t0,都有 |ys(t)-s(t)|t0 ，当t*=t0时有 |ys(t*)-s(t*)| （无论 多小） ，则称未扰运动为不稳定。,定义2. 如果未扰运动为稳定的，并进而有 则未扰运动为渐进稳定的。,7,t0,稳定性的几何意义,定义1. 任给0, 存在 0，使当| ys0 |t0,都有|ys(t)-s(t)|t0 ，当t*=t0时有|ys(t*)-s(t*)| （无论 多小） ，则称未扰运动为不稳定。,8,李雅普诺夫(Lyapunov)意义下的稳定性概念 (1892年博士论文:运动稳定性的一般问题),运动为稳定或不稳定,由受扰运动与未扰
3、运动之间的差值决定.,平衡态稳定性:,如何将运动稳定性化为平衡态稳定性进行研究?,9,第二节 扰动方程,10,(2.7)称为对应于(2.1) 的未扰运动(t)的扰动方程。,(2.7),显然: X(t,0)0,x=0为 (2.7)的解，对应扰动方程 平衡位置.,(2.1) 的未扰运动 y=(t) 的运动稳定性,定义3. 如任给0, 存在0，使当| x0 |t0有|x(t)| ，则(2.7)的0平衡解是稳定的,因此(2.7)的未扰运动为稳定。,如果进而有 ，则未扰运动为渐进稳定。,若存在t*t0 ，使|x(t*)| ，则未扰运动为不稳定。,11,12,例2 微分方程,(2.13),解：有一周期解,
4、令,得相应的扰动方程：,13,结论：如果原来的运动微分方程是常系数微分方程，那么 定常运动（与时间无关）所对应的扰动方程仍是常系数微分方程； 周期运动所对应的扰动方程为具有周期系数的微分方程，且系数与未扰运动有同样的周期。,14,第二章 运动稳定性的基本定理,第一节 关于李亚普诺夫函数V的若干定义,第二节 函数V(x)定号性与变号性的判别准则,第三节 稳定性的基本定理,15,第一节 关于李亚普若夫函数V的若干定义,16,定义4. 如V(t,x)在D域上除原点外在其他点也可以取零值但却保持同一符号，则称V(t,x)为常号函数。如V(t,x)0称为常正；如V(t,x)0 ，称为常负。,对于不含t的
5、常号函数V(x)而言，由V(x)=0所画出的曲面不是闭曲面。,17,定义5. 对于不含t 的函数V(x)而言，如果在域D上保持同号，则称V(x)为定号函数: V(x)0 为定正；V(x)0 为定负,18,显然，它为定正函数。令,该曲面与x1轴的交点由右式决定,对于定号函数V(x)而言，令V(x)=C，可以证明当C足够小时必为闭曲面，而C当比较大时有可能出现非闭的情况。例如：,可见，只有当C1时上式对x1才有解，而当C 1时对x1则无解。这表明，当C1时V(x1,x2,x3)=0的轨迹才为一闭曲面，而当C 1时该闭曲面则不闭。,19,定义6. 对于V(t,x)而言，如果有不含t的定正函数W(x)
6、存在，使在定域D上当tt* 时有下列不等式：,或,则称V(t,x)为定号函数，此时，满足前一不等式之V(t,x)称为定正，满足后一不等式之V(t,x)称为定负。,20,例如,根据上述定义而导出的定号函数具有性质：,V(t,x)=C之 x 当t t*时只能位于W(x)=C之闭曲面内。 以(*)为例，令,(*),得：, 点(x1,x2)位于W所确定圆周之内: W(x1, x2)=x12+ x22=C,21,V(t,x) 0 -常正；V(t,x)0 -常负;,W(x) 0-定正；W(x)0 -定负;,22,定义7. 如V(t,x)在域D 上既有取正值的点又有取负值的点，则称V(t, x)为变号函数。
7、,定义8. V(t,x)-有界: 若x D,有|V (t,x)|L ,性质1. 若V(t,x)定正，则对 0, 0，只要|V(t, x)| ，就有|x| ,证： V(t, x) 0， W(x) 0, 使得：,反证：,若 x , 使得|x|= 时,仍有V(t*, x) , V(t*, x) W(x) 矛盾,23,说明(V(t,x)定正)： V(t, x)=C中之 x 将位于W(x)=C的闭曲面之内； V(t,x)之值很小时， x 之值也很小，并且当V(t,x) 0时有x 0 ； 不能保证相反的性质，即x值很小时V(t, x)之值也很小； 例如定正函数 V(t, x1,x2)=(1+t)(x12+
8、x22) ，但当( x1,x2)值很小时，V(t, x1,x2)之值却可以很大。 为保证 x 之值小时，V(t,x)之值也小，引入关于无限小上界的定义 (V(t,x)仅有界不能保证）。,24,定义9. 设V(t,x)为有界，并且对任给0, 存在0，使当|x | 时，对一切tt*有 | V(t,x) | (2.17) 则称V(t,x)在域D 上有无限小上界。 p37,有界但没有无限小上界,性质2. 定号函数W(x)必有无限小上界。p34,性质3. 设V(t,x)有无限小上界，且有t t*时恒满足 | V(t,x) | (2.18) 则必存在=(t*, ) ，使得满足(2.18)式的x必满足 |x
9、| (2.19),25,函数V(t,x)沿扰动方程(2.20)的全导数,26,准则1 任何奇函数是变号函数。,第二节 V(x)符号判别准则,27,视s为坐标， (2.27)的几何意义为n维空间中的单位球面-一个有界闭集。,且存在有下确界：,28,另一方面，(2.25)此时化为,如果令 ，则得,这表明V(x)与U(x)一样，此时也为定正函数。(至于U(x)为变号时的情况，其证明与上同),29,30,第三节 稳定性的基本定理,证： 设V(t,x)为定正，则有V|(2.20) 或 0,若存在定号函数V(t,x)，它沿(2.20)的全导数 V|(2.20) 为与V(t, x)符号相反的常号函数（或恒等
10、于零）， 则x=0是稳定的（与之相应的未扰运动稳定）。,因V(t,x) W(x)0 ，任给0 (H), 取,3.1 Lyapunov 稳定性定理,31,(2) V(t0, x)有无限小的上界 (t0为初值-定值) 。 有：当V(t0 , x)0，使得|x| ；,(3) 取初值|x(t0)|= |x0| ，得(2.20)的一个解x(t)。,(4) 现证，对上述解只能有|x(t)|。 设t=t1时有|x(t1)|= ，则由(1)得:,与（3）矛盾。,(5) 结论：当|x0| 时，对一切t t0 ，有|x(t)| ，即:扰动方程的平衡位置是稳定的。,32,定理2 (李雅普诺夫). 对于扰动方程(2.
11、20), 若存在有无限小上界的定号函数V(x,t)，且沿(2.20)的全导数 V|(2.20) 为与V符号相反的定号函数，则(2.20)的 x=0 为渐进稳定。,证：(1) x=0稳定(t0, , ). 设V定正, V|(2.20)定负。,任给0 , 且0，则 |x| 为有界闭集. 故,当 |x|, 有W1(x) l1,由定理1 ：如有V(t,x) l1，则必有|x| ,p37,33,p34,应证： 0， x(t) 0,34,现证:沿上述解x(t)，存在 t1 ，使得一切tt1，有V(t , x(t)l1，则有|x(t)|（V有无限小上界）p26。 又由(2)知|x(t)| ，故有： |x|,
12、令,当 0,与V的定正性矛盾,(4) 由于 任意，故l1 0.,-渐进稳定,35,则上述定理可以作如下的推广。,如果扰动方程是不含t的自治系统,(2.29),定理3. 对于扰动方程(2.29)， 如果存在定号函数V(x)，及与V(x)符号相反的常号函数 V(x)|(2.29)（或0），则x=0是稳定的； 如果存在定号函数V(x)，及与V(x)符号相反的定号函数 V(x)|(2.29)，则x=0是渐进稳定的； 如果存在定号函数V(x)，及与V(x)符号相反的常号函数 V(x)|(2.29)，且满足V=0的 x 中，除点x =0外不包含(2.29)的整条轨线，则x=0是渐进稳定的。,36,整条轨线
13、(周期解),37,例1.,解： 取,V定正，V常负，故由定理3_1，知平衡位置: x=y=0 或 (x, y)=(0,0) 稳定。,38,例2.,解： 取,V定正，V定负，故由定理3_ 2，知 x=y=0 为渐进稳定。,39,例3 . 考虑介质阻尼的单摆方程,解：方程有一特解=0 ，=0 -最低平衡位置。,它在原点邻域(0, 0)是定正函数。沿原方程轨线的全导数,容易验证， V=0=0不是原方程的一条整轨线. 由定理3_ 3知(0, 0)渐进稳定。,40,定义11. 在域tt* ，|x|0的 x 的集合: V +=x |V(t, x)0, 称为V 0 ; 域的边界V(t,x)=0记为 。,定义
14、12. 设U(t,x)为在V +中的有界函数，如对任意小的0 ，存在 0，使当|x|时有|U(t,x)| ，则称U(t,x)在中V +有无限小上界。,3.2 契塔耶夫(Chetaev) 不稳定性定理,定义13. 如U(t, x)只在V +的边界 上可变为零，而且对任意小的 0 ，总可求得l 0，使对满足V(t,x) 之 x ，有|U(t,x)| l ，则称U(t,x)为在V +中的Chetaev意义下的定号函数。,推论1. 如W(t,x)常正或恒等于零， 0 ，则 U(t,x)= V(t,x)+W(t,x)在V +中为定号。,41,推论2. 如V(x)与U(x)均不依赖t，且U(x)在V +中
15、除原点外处处不等于零，则U(x)在V +中为定号。,推论3. V(t,x)本身在V +中为定正。,推论4. 如果V(t,x)在V +中有无限小上界，则任何Lyapunov定义下的定号函数U(t,x)，也必然是Chetaev定义下的定号函数。,证: (1) V(t,x)在V+中有无限小上界 任给 0, 可求 0, 使得V(t,x) |x| 。 (2) 设U(t,x)定正，存在W(x)0， U (t, x) W(x) (3) 0 W(x)l (4) V(t, x) |x| U (t, x) W(x) l U 在V +中也是Chetaev 定义下的定正函数,42,(1) 在原点邻域内V+有存在；,(
16、2) 在V+中, V(t,x)为有界；,全导数V|(2.20)在V+中为定正；,则x=0不稳定 (未扰运动为不稳定)。,如果存在V(t,x)满足下列条件:,证: (1) 任给0 (0 . 设从(t0, x0)出发的解为x(t). 当t t0初期: |x(t)| H, V 0, , |x(t)| V +,p47,43,证明: |x(t)| H, 当 t 大于某值时. 反证, 设对一切t t0 , 有|x(t)| H ., V 定正, V (t, x(t) l0,与（2）： V(t,x)在V+中有界矛盾。, 存在t *，当 t t *时，|x(t)| H - x=0不稳定,44,定理5, 6 (李雅普诺夫). 如果对于扰动方程(2.20), 存在函数V(t,x)满足下列条件:,则x=0不稳定
