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1、.,第九章 参数假设检验,.,第一节 假设检验的一般问题,.,一、假设检验(Hypothesis Testing)问题的提出 有许多实际问题，需要通过部分信息量，对某种看法进行判定或估计。 例1、某企业生产一种零件，以往的资料显示零件平均长度为4cm，标准差为0.1cm。工艺改革后，抽查100个零件发现其平均长度为3.94cm。问：工艺改革后零件长度是否发生了显著变化？ 例2、某厂有一日共生产了200件产品，按国家标准，次品率不得超过3%才能出厂。现从该批产品中随机抽取10件，发现其中有2件次品，问这批产品能否出厂。,.,例1要判明工艺改革后零件平均长度是否仍为4cm； 例2要判明该批产品的次
2、品率是否低于3%。,进行这种判断 的信息来自 所抽取的样本,这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判断：,所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设,假设检验分两类：（1）参数假设检验；（2）非参数检验或自由分布检验。,.,1、假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 为了检某假设是否成立，先假定它正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设； 2、判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的 即在一次抽样中，小概率事件不可能发生。如
3、果在原假设下发生了小概率事件，则认为原假设是不合理的；反之，小概率事件没有发生，则认为原假设是合理的。,二、假设检验的基本思想,.,因此，置信度大小的不同，有可能做出不同的判断。,3、假设检验是基于样本资料来推断总体特征的，而这种推断是在一定概率置信度下进行的，而非严格的逻辑证明。,在例1中，要判断工艺改革后零件平均长度是否仍为4cm， 可先假设仍为4cm，根据样本平均数的抽样分布理论，则样本点应以较大的可能性（置信度）落在以4为中心的某一范围内，,.,或者说在给定置信度1-下(比如99%）：,其中：0为所要检验的假设（这里为4cm） 为总体标准差（这里为0.1cm）,N为样本容量（这里为10
4、0） Z/2为置信度1-下，标准正态分布对应的右尾 临界值,.,如果取置信度为0.99，则显著性水平=0.01，对应的临界值为Z/2 =2.58,换言之，如果原假设为真，则样本测算值将以99%的可能性落在-2.58，2.58区间内。 通过一组（实际）样本计算得：,说明小概率事件（标准化后的样本均值只有1%的可能性落在-2.58，2.58区间外）发生了。,这是不合理的，应拒绝原假设。,.,1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设(alternative hypothesis) 原假设为正待检验的假设：H0； 备择假设为可供选择的假设：H1 一般地，假设有三种形式： （1）双侧检
5、验： H0 : 0; H1 :0 （2）左侧检验： H0 : 0; H1 :0,三、假设检验的步骤,.,(一)左侧检验例某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡的使用寿命服从正太分布，标准差为20小时，在总体中抽取100个灯泡，测得样本平均值为960小时，批发商是否应该购进这批产品？,.,解:批发商关心的问题是灯泡寿命的下限时间，因此检验问题可为：H0: 1000, H1: 1000,1-=0.95,=0.05,拒绝域,.,(二)右侧检验例某大量生产的袋装食品，按规定重量不得少于250克。今从一批该食品中随机地抽取50袋，发现有6袋重量低于25
6、0克。若规定不符合标准的比例达到5%，食品就不得出厂.问该批食品能否出厂？分析：关心的主要是次品率的上限，检验的形式可表示为：H0：5% H1：5%,.,.,2、选择适当的统计量，并确定其分布形式,统计量是根据所涉及的问题而定的，如总体均值、比例（率）可选取正态分布的Z统计量等。,3、选择显著性水平或置信度，确定临界值 显著性水平为原假设为真时，样本点落在临界值外的概率（即抽样结果远离中心点的概率，它为小概率），也是原假设为真时，拒绝原假设所冒的风险。 临界值将样本点所落区域分为拒绝域与接受域，临界值“外”为拒绝域，“内”为接受域。,.,通过样本计算统计量的具体值，与临界值比较，根据落入拒绝域
7、或接受域的情况来拒绝或接受原假设。,4、作出结论,.,由于假设检验是根据有限的样本信息来推断总体特征，由样本的随机性可能致使判断出错。 （一）第一类错误 当原假设为真时，而拒绝原假设所犯的错误，称为第I类错误或拒真错误。易知犯第I类错误的概率就是显著性水平:,四、假设检验中的两类错误,（二）第二类错误 当原假设为假时，而接受原假设所犯的错误，称为第II类错误或采伪错误。犯第II类错误的概率常用表示:,.,假设检验中的四种可能情况 H0为真 H0不真 接受H0 Good Bad/Type II error 拒绝H0 Bad/Type I error Good,.,1、犯第一类错误与犯第二类错误的
8、概率存在此消彼长的关系;,2、若要同时减少 与 ，须增大样本容量n。 3、通常的作法是，取显著性水平较小，即控制犯第一类错误的概率在较小的范围内； 4、在犯第二类错误的概率不好控制时，将“接受原假设”更倾向于说成“不拒绝原假设”。,注意：,.,一、总体均值的假设检验 （一）总体方差已知，正态总体，样本大小不限或者大样本情况下 如果总体XN(,2)，在方差已知的情况下，对总体均值进行假设检验。 由于,第二节 总体均值、比例和方差的假设检验,注意： 如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样本（n=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体方差需用样本方差 s 替代。,因此，可通过构造Z
9、统计量来进行假设检验：,.,【例】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为0=0.081mm，总体标准差为= 0.025 。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（0.05）,双侧检验,.,H0: = 0.081 H1: 0.081 = 0.05 n = 200 临界值(s):,检验统计量:,决策:,结论:,在 = 0.05的水平上拒绝H0,有证据表明新机床加工的零件的椭圆度与以前有显著差异,.,例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分
10、布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命是否有显著提高（显著性水平：5%）？（注意：右侧检验）,由=0.05，查表得临界值：Z=Z 0.05=1.645,提出假设：H0：=1020 ，H1： 1020 检验统计量：,比较：计算的Z=2.4 Z =1.645 判断：拒绝H0 ，接受H1 ，即这批产品的寿命确有提高。,.,（二）总体方差未知，正态总体，小样本,注： 如果总体分布也未知，则没有适当的统计量进行假设检验，唯一的解决办法是增大样本，以使样本均值趋向于正态分布，从而再采用Z统计量。,这时只能用 t 统计量进行
11、假设检验：,.,2 未知小样本均值的检验,【例】某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。,双侧检验,.,2 未知小样本均值的检验 (例题分析),H0: = 5 H1: 5 = 0.05 df = 10 - 1 = 9 临界值(s):,检验统计量:,在 = 0.05的水平上拒绝H0,说明该机器的性能不好,决策：,结论：,.,二、总体比例的假设检验,大样本下，样本比例趋向于正态分布，因此可通过构造Z统计量的方法进行假设检验：,注： 1、如果总体比例P未知，可用样
12、本比例p替代。 2、Z统计量只适合大样本情况下的总体比例检验。,.,一个总体比例的检验,【例】一项统计结果声称，某市老年人口（年龄在65岁以上）的比重为14.7%，该市老年人口研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上。调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？(= 0.05),双侧检验,.,H0: = 14.7% H1: 14.7% = 0.05 n = 400 临界值(s):,检验统计量:,在 = 0.05的水平上不拒绝H0,该市老年人口比重为14.7%,决策:,结论:,.,只讨论限于正态总体方差的检验。 设所要检验的原假设为： H0
13、：,三、总体方差的假设检验,因此，可构造2 统计量进行总体方差的假设检验。 当H0成立时，S2/02 接近于1，2的值在一个适当的范围内， 当H0不成立时，S2/02远离1，2的值相当大或相当小。,由于样本方差 S2是总体方差2的无偏估计量，可通过它们的对比来构造检验统计量。 可以证明，若H0为真，则,.,方差的卡方 (2) 检验(例题分析),【例】某厂商生产出一种新型的饮料装瓶机器，按设计要求，该机器装一瓶一升(1000cm3)的饮料误差上下不超过1cm3。如果达到设计要求，表明机器的稳定性非常好。现从该机器装完的产品中随机抽取25瓶，分别进行测定(用样本减1000cm3)，得到如下结果。检
14、验该机器的性能是否达到设计要求 (=0.05),绿色 健康饮品,绿色 健康饮品,双侧检验,.,方差的卡方 (2) 检验(例题分析),H0: 2 = 1 H1: 2 1 = 0.05 df = 25 - 1 = 24 临界值(s):,统计量:,在 = 0.05的水平上不拒绝H0,不能认为该机器的性能未达到设计要求,决策:,结论:,.,第三节 假设检验中的其他问题,一、区间估计与假设检验的关系 1、区别： 区间估计是依据样本资料估计总体的未知参数的可能范围； 假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。,区间估计通常求得的是以样本为中心的双侧置信区间； 假设检验不仅有双侧检验也有单侧
15、检验。,.,2、联系 都是根据样本信息对总体参数进行推断； 都是以抽样分布为理论依据； 都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有风险； 对同一问题的参数进行推断，使用同一样本、同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。,区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（可信度）1- 去估计总体参数的置信区间；,假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平 去检验对总体参数的先验假设是否成立。,.,二、假设检验中的P值,假设检验的结论是在给定的显著性水平下作出的。因此，在不同的显著性水平下，对同一问题所下的结论可能完全相反（下图）。,红点： 在0.1的显著性水平下，拒绝原假设；,在0.05的显著
16、性水平 下，接受原假设。,.,在例3中，检验统计量的值 Z=2.4， 由于Z服从正态分布N(0,1)，则可求得统计量大于2.4的概率： P(Z2.4)=0.008,假设检验P值的提出：,通常：把这种“拒绝原假设的最小显著性水平”称为假设检验的P值。,因此， 若选定显著性水平 0.008，则Z=2.4Z ，Z值落入拒绝域 若选定显著性水平 0.008，则Z=2.4 Z ，Z值落入接受域。 可见：若要拒绝原假设，显著性水平的最小值为0.008。,.,一般地，可通过样本计算检验统计量的值C，根据具体分布求出该C值对应的P值（为一概率值），然后与给定的显著性水平 进行比较：,假设检验P值的应用：,如果P ，则在显著性水平 下拒绝原假设； 如果=P ，则在显著性水平下接受原假设。,.,.,.,
