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1、广东省广州市执信、广雅、六中三校2021届高三数学上学期8月联考试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一
2、、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.其中第1第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1.已知是虚数单位，若复数，则复数的共轭复数为（ ）A.B.C.D.2.已知集合，则（ ）A.B.C.D.3.命题“，”的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，4.2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降
3、落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ）A.60B.120C.144D.2405.已知抛物线的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（ ）A.B.1C.2D.46.已知为锐角，若，则的值为（ ）A.B.C.D.7.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线于，两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.2D.8.函数（其中，）的图象如下图所示，为了得到的图象，则需将的图象（ ）A.横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B.横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D.横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位9.在正
4、项等比数列中，.数列的前项和记为，前项积记为，则满足的最大正整数的值为（ ）A.3B.4C.5D.610.如图1，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为.点，为圆上的点， ， ， ，分别是以， ，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以， ， ，为折痕折起， ， ， ，使得，重合得到一个四棱锥（如图2）.当四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.11.（多选）设，则下列不等式恒成立的是（ ）A.B.C.D.12.（多选）对于定义城为的函数，若满足：；当且时，都有；当且时，都有，则称为偏对称函数下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A.B.C.D.
5、二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，若，则_.14.函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数的值为_.15.如果的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数_.16.已知函数为偶函数，当时，.若直线与曲线至少有两个交点，则实数的取值范围是_.三、解答题（本大题6小题，共70分）17.（本小题10分）已知的内角，所对的边分别为，.（）求角的大；（）若，求的面积18.（本小题12分）设数列的前项和为，且满足：.（）求的通项公式；（）设数列，求数列的前项和.19.（本小题12分）如图，在梯形中，矩形中， ，又有.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本
6、小题12分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的度（单位：分米），按数据分成，这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.（）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中，的值；（）若从这批零件中随机选取3个，记为抽取的零件长度在
7、的个数，求的分布列和数学期望.（）若变量满足.且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收试问，该批零件能否被签收？21.（本小题12分）如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切，其中.（）求椭圆的方程；（）不过点的动直线与椭圆相交于，两点，且，证明：动直线过定点，并且求出该定点坐标.22.（本小题12分）已知函数，其中.（）讨论的单调性（）当时，证明：；（）试比较与（且）的大小，并证明你的结论.2020学年高三上学期8月执信、广雅、六中三校联考试卷答案说明数学一、选择题
8、（本大题12小题，每小题5分，共60分.其中第1题第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）题号123456789101112答案ABCDCBCCBAACDBD二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题（本大题6小题，共70分）17.解：（）由得，又显然不等于0，（）由（）知，又，根据余弦定理得，.18.解：（）由题意，数列满足，当时，两式相减，可得，即，整理得.又由当时， ，可得，即（适合上式）所以数列的通项公
9、式为，.（）由，则，所以，两式相减，可得所以.19.证明：（）在梯形中，四边形是等腰梯形，（也可以利用余弦定理求出，再证明）又矩形中， ，又有，又，平面.（）以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.可得，.，设平面的法向量为，所以，令，则，.直线与平面所成角的正弦值是.20.解：（）由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件，则这批零件的长度大于1.60分米的频率为，记为零件的长度，则，故，.（）由（）可知从这批零件中随机选取1件，长度在的概率.则随机变量服从二项分布，则，故随机变量的分布列为01230.0270.1890.4410
10、.343（或）.（或由随机变量服从二项分布，得，）（）由题意可知，则，因为，所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布.故认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.21.解：（）由题可知，则直线的方程为，即，因为直线与圆相切，该圆的圆心为，则，故椭圆的标准方程为.（）解法一：依题得直线的斜率必存在，设，设点，联立，消去并整理得，即，且，即，或.当时，直线，恒过点，不满足题意，舍去；当时，直线，恒过点，故直线恒过定点.解法二：因为不过点的动直线与椭圆相交于两点，且，即直线与坐标轴不垂直也不平行，由，可设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消去并整理得，解得或，因此点的坐标为，即，将上式中的换成，得点，所以直线的斜率为，即直线的方程，化简并整理得，故直线恒过定点.22.解：（）函数的定义域为：，当时，所以在上单调递增，当时，令，解得，当时， ，所以，所以在上单调递减；当时， ，所以，所以在上单调递增；综上，当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（）当时，要证明，即证，即证，设，则，令得，当时， ，当时，.所以为极大值点，且在处取得最大值.所以，即，故.（）证明：由（）知（当且仅当时等号成立），即，则有，故.
