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1、第五章 奇 点,第一节 常点与奇点 第二节 一次奇点 第三节 非线性项对奇点的影响,第一节 常点与奇点,研究二维方程组,(5.1),反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零，则此点称为(5.1)的常点。,性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一,由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。 在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得：,则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。,第二节 一次奇点,(5.5),研究以下线性系统,(1) q 0, 此时1,2异号,其解为 设1 0，2 0, 则其轨线在原点领域的分布情况如图所示，这样的奇
2、点为鞍点。,根据特征根的各种可能情况，对奇点进行分类：,p16,p17,p30,o, 1， 2 为 相异负实根,若210，则积分曲线在原点与 x 轴相切，如图示。反之，若120，则积分曲线在原点与 y 轴相切。 奇点称为稳定结点,对于q 0，p 0，1、2为相异正实根，积分曲线方向远离原点。 奇点为不稳定结点,p17,p20,p16,q0，p0，p24q0, v0，将(5.5)化为：,(5.10),其解为r= r0 e -ut，=0+ v t，相应的轨线如图 奇点为稳定焦点,q0, p0, p2-4q0:1,2为共轭复根但实部为正 奇点为不稳定焦点,p17,p16,(a) 初等因子是简单。(5
3、.5)可化为：,(5.12),（4）q0, p0, p2-4q=0, 12为一对负重根。这又可分为两种情况；,(b) 初等因子是重的。(5.5) 可化为：,p17,(5.13),p16,所有轨线在原点均与轴相切，如图所示。 稳定退化结点,q 0, p0, p24q=0:1,2 一对正重根 不稳定临界结点和退化结点,p17,(5) q0, p0:1-2 vi,为一对共轭纯虚根,其解为r=r0,=0+vt, 其轨线如图 -奇点称为中心,奇点分类如下：,q0, p0, p2-4q0, 两根相异负实根稳定结点; q0,p0,p2-4q=0, 两根为相等负实根临界结点或退化结点。 q0,p0, 两根为相
4、异正实根不稳定结点; q0,p0,p0,p0,p0, 两根为共轭纯虚根中心.,汇,源,第三节 非线性项对奇点的影响,则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点，也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同），且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点，对(A1) 来说其结构可能发生变化。,定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点， 若点列 An(rn,n)，当n时， rn0 ,n0 ,且n0 ，n为An点的方向场向量与向径夹角的正切，称=0为特征方向。 显然，若=0为固定方向，则必为特征方向,3.1 奇点的性质 定义1：设 L 为轨线, 其上的点 A(r,),当r0时,0 （t ），称
5、L沿固定方向进入奇点O(0, 0).,鞍 点： 0，/2, 3 /2， 结 点： 0，/2, 3 /2， 焦 点： 无 退化结点： /2, 3 /2 或 0， 临界结点：任意方向,p7,p8,p9,p10,p11,定义3： 轨线L与=0相交于P ,若P点向径与方向场夹角为: 0 p ,则为正侧相交； p 2 ,则为负侧相交。 /2 p 3/2 ,则为正向相交；-/2 p /2,则为负向相交。,正侧正向 正侧负向 负侧负向 负侧正向,定义4：O为奇点，扇形域 由OA, AB与弧AB围城，称为正常区域， 上满足： 除点O外没有其他奇点, OA, AB为无切线段; 任意点的向径与方向场向量不垂直；
6、最多包含一个特征方向, 但OA, AB不是特征方向.,结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向： 即： 0 或 2 。因此有三类正常区域：,I,II,III,结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向： 即： 0 或 2 。因此有三类正常区域：,引理：若为正常区域 I ，从 OA, AB与AB上出发的轨线都进入O（当t时）; 若为正常区域 II , AB上有一点或一段闭弧，从其上出发的轨线都进入O（当t时）;,若为III , 有两种情况: (1) 没有轨线进入O; (2) POA或 AB: POA时, OP上出发的轨线都进入O; PAB时, QOAAP, 从Q出发的轨线都
7、进入O,其中F2，G2 是 x, y 二次以上的函数,且满足(A3) 。令 x=rcos, y=rsin，运算可得:,(A4),考虑结点为稳定时， 非奇异变换，将 (A1) 化为：,1. 结点情况,p7,d/dt = 0 = 0, /2, , 3 /2 -特征方向,o,1, 2 微小量；21 0 r 0 dr/dt 0., -正常区域 II; , -正常区域 I,结论：当1 0, , 内只有一对轨线当t 时沿y轴方向趋于原点；其余轨线则均沿x方向趋于原点。 原点为稳定结点。,p8,总之，若线性奇点为结点，加上非线性项之后仍为结点，并且稳定性保持不变。,p8,鞍点情况 两特征根均为实根：设10,
8、鞍点情况 两特征根均为实根：设10, -正常区域 II (t) , -正常区域 II (t-),结论：当0, , 内只有一对轨线沿y轴趋于原点(当t-时); , 内只有一对轨线沿x轴趋于原点(当t时). 原点为鞍点,焦点与中心的情况,焦点情况与结点、鞍点相似：线性部分为焦点时，加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;,对于线性部分为中心的情况，加上非线性项后，可能依然为中心，但也可能变为（不）稳定焦点;,若满足: X(-x, y)= X(x, y) Y(-x, y)= -Y(x, y),若满足: X(x, -y)=-X(x, y) Y(x, -y)= Y(x, y),(A1),能否给出判断稳定性的依
9、据? -问题实质:如何确定奇点的性质与（A9）系数之间的关系。,按照线性部分特征根的不同情况进行讨论.,分为以下几个方面： 两特征根为实根或共轭负根，此时奇点将为稳定或不稳定结点，焦点或不稳定鞍点; 两特征根为一对纯虚根，线性奇点为中心，加上高次项后，为中心或焦点; 两特征根一是零根，另一个正实根，奇点为不稳定; 两特征根一是零根，另一个负实根，这是所谓Lyapunov第一临界情况; 两特征根全为零根，又可分为两种情况: 初等因子是简单的，化为齐次方程研究; 初等因子是非简单的，奇点为不稳定。,第一节 保守系统的基本性质 第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线的作图法,第六
10、章 相平面法,第一节 保守系统的基本性质,一、保守系统 -能量（机械能）保持守恒的系统。 单自由度系统的运动微分方程：,p32,由(6.2.), 系统的奇点为： y=0，f(x)=0 (6.4),系统奇点（若有的话）分布在 x 轴上,由(6.3)，当 f(x)=0, y0时，有 0，即轨线切线水平。,由（6.3）求得积分曲线的方程：,h 为常数-其力学意义为机械能守恒,(6.5), 在 h V(x)0 的 x 区间内才有积分曲线, V(x0)= f(x0)=0 -系统奇点x0对应势能的极值,在奇点x0邻域内将V(x)展开为泰劳级数(取到二次项):,(6.7),V(x0)0 V(x0) 极小值
11、(6.8) 椭圆方程 奇点 x0 为中心； V(x0)0 V(x0) 极大值 (6.8) 双曲线方程， 故奇点为鞍点; V(x0)=0 V(x0) 非极大极小 拐点， 此时, 若 V (3)(x0)0, 积分曲线可近似表示为,p7,(6.9),对应中心鞍点型奇点: 一半中心，一半鞍点（高次奇点-线性部分的特征根出现零根）。 将(6.2)中的f(x)也在这一点邻域内展开，得：,在一般情况下,对于V(n)0,当n为偶数时V为极值，当n为奇数时V为拐点。积分曲线为较复杂的高次曲线，如图(6.2)所示( y0, x0; y0, x0),p28,方程中不含速度项，为保守系统(机械能守恒)； 方程中含有速
12、度项，而速度项前的系数为常数或定号函数，为非保守系统； 方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数，则不能确定是否保守系统。,第二节 带有参数的保守系统,f(x, )=0, 在平面内为一曲线，如图(6.4),假定阴影区: f(x, ) 0 可看出，当参数增大时，奇点数目随之变化。,f(x, ) 0,由于Vxx” (x, ) = fx(x, ),因而在奇点x处： Vxx” (x, ) 0 (fx(x, )0)时，V-极小 中心； Vxx” (x, ) 0 (fx(x, ) 0)时，V-极大 鞍点； Vxx” (x, ) = 0，但Vxx” 0时 中心鞍点。,与不含参数的保守系统相同,沿 x增加
13、方向看f(x, )的变化，判断fx(x, )的符号,2 , 3 , 5 分岔点 (奇点数目变化),f(x, ) 0,解: 由质点的动量距定理，可得小球的运动微分方程为,例1. 一质量为m的小球，可沿一半径为 r 的大环滑动，此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。设小球与大环之间无摩擦，试研究小球的运动.,(6.17),曲线如图(6.6): 阴影区- f (,)0。,平衡位置: =0, =(0, ), 当| | 1时; =0, =(0, , cos-1 ),当|1时。,相平面内轨线的分布情况（：- ）：,|1,此时共有三个鞍点(=0,)与两个中心(=cos-1); A,B分别为通过=0,=0与0，=
14、的分界线，其方程为,(6.20),耗散系统属于非保守系统，其运动微分方程通常可表示为,第三节 耗散系统,(6.21),将 各项乘以 得,-由(6.22)知 y=0时 g(x, y)=0，因而耗散系统(6.25)的奇点分布，与和它对应的保守系统的奇点分布相同，但奇点的性质却可能改变(中心变成焦、结点)。,例2. 考虑阻尼作用单摆的运动。,耗散项：,对应的保守系统为,共有三个平衡位置(中心，鞍点)：,由于 ，故系统为耗散系统。,其中0, g()在-, 上连续，且为2 的周期函数，g(0)0，g(0) 0,当0时g( )0 ，g()=0。,显然，这是较例2更为一般情况，此时系统由三个奇点:=0，=0
15、，而且0为稳定焦点或结点，为鞍点。,(1) 等倾线法,第四节 轨线作图法,(6.27),令k等于一系列不同的数值，得出一系列等倾线，在每一等倾线上画出相应的dy/dx的方向，然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形。,例:,令,直线CA的斜率为,它与(6.35) dy/dx的乘积等于-1,因而(6.35)积分曲线在A点的切线方向应与CA垂直。,例4 受有干摩擦力与线性恢复力的振动系统，其运动微分方程为,为了应用Linard作图法，需使x的系数等于1。为此，作变换 ，即可将上式化为:,然后，利用Linard作图法，可以证明它的积分曲线为一系列半圆所组成，这些半圆在x轴上相连接，其圆心为 如图所示。
16、,第七章 极限环,第一节 前 言 第二节 极限环的存在性 第三节 极限环的唯一性 第四节 极限环的稳定性 第五节 判断极限环不存在的定理,第一节前言,对于微分方程的积分曲线而言，它存在一条孤立的单闭曲线，而在其领域内的其他积分曲线，均以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近，则这条闭曲线称为极限环。力学意义：孤立周期解,由此可见，r=0即x=y=0是一个奇点; 而r=1即x2+y2=1是一个周期解.而其它积分曲线都是螺线，即：当t时. 对于r1，有：,故r单调减少而趋于1;,因而闭曲线 x2+y2=1 是稳定的极限环,(7.2),例2,(7.3),其积分曲线形状见图; 单闭曲线x2+y2=1是不稳定极限环。,对于,其积分曲线形状见图。 单闭
