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1、第四章 方程求根,4.7 fzerotx，feval 4.8 fzerogui 4.9 寻求函数为某个值的解和 反向插值 4.10 最优化和fmintx,4.7 fzerotx，feval,在MATLAB中函数fzero可实现zeroin算法 fzero函数除了基本算法外，还包括一下四项功能： 1、在它开始的部分，使用一个输入的初始估计值，并寻找使函数正负号发生变化的一个区间； 2、由函数f（x）返回的值将被检验，是否是无穷大、 NaN（Not a Number的缩写，NaN是一个预定义的常量，表示“不明确的数值结果”）、或者复数； 3、可以改变默认的收敛阈值； 4、也可以要求得到更多的输出，
2、例如调用函数求值的次数。 随本书一起的zeroin算法的版本是fzerotx，它由fzero简化而来，去掉了大多数附带的功能，而保留了zeroin主要的用途。,第一类的零阶贝塞尔函数J0（x）,第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind），又称贝塞尔函数（Bessel function），简称为J函数，记作J。 第一类阶贝塞尔函数J(x)是贝塞尔方程当为整数或非负时的解，须满足在x = 0 时有限。另一种定义方法是通过它在x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于为非整数）： =0时， 上式中(z)为函数（它可视为阶乘函数向非整
3、型自变量的推广）。,下图是0阶、1阶和2阶的贝塞尔函数J(x)的图像=(0,1,2),第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率 衰减的正弦或余弦函数类似，但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。,用第一类的零阶贝塞尔函数J0(x)说明fzerotx是怎样工作的。J0(x)可通过MATLAB命令besselj(0，x) 得到。 运行如下程序，就能在MATLAB中得到第一类的零阶贝塞尔函数J0(x)的图像。 x=0:pi/50:10*pi; y=besselj(0,x); plot(x,y,-) 下面的程序能求出J0(x)的前10个零解，并画出图4-2（除了图中红色的
4、x，后面将加上）。 bessj0=inline(besselj(0,x); for n = 1:10 z(n) = fzerotx(bessj0,(n-1) n*pi); end,图4-2,x = 0:pi/50:10*pi; y = bessj0(x); plot(z,zeros(1,10),o,x,y,-) line(0 10*pi,0 0,color,black) axis(0 10*pi -0.5 1.0) 从图中可以看出，J0（x）的图形很像是cos（x）的幅值和频率经过调制后的版本，相邻两个零解的距离近似等于。,函数fzerotx有两个输入参数： 第一个参数指定要计算零解的函数F(
5、x)， 第二个参数指定初始的搜索区间a,b。 以另一个函数为参数的函数，fzerotx也是MATLAB函数的函数的例子，ezpot是另外一个例子。本书的其他章第6章，数值积分；第7章，常微分方程；甚至第9章，随机数中介绍的名字含“tx”和“gui”的M文件也是函数的函数。 一个函数作为参数传递给另一个函数，可采用的方式有以下几种： 函数句柄， 内嵌对象， 匿名函数。,函数句柄,定义：在一个内部函数或定义于M文件的函数的名字前面加一个符号，下面是几个例子： cos humps bessj0 其中bessj0.m是一个含两行代码的M文件。 function y=bessj0（x） y=bessel
6、j（0，x） 这样，这些句柄就可以用作函数的函数输入参数 z=fzerotx（bessj0，0，pi） 注意besselj也是一个合法的函数句柄，只是它对应一个带两个输入参数的函数。,内嵌对象,定义：内嵌对象是一种定义简单函数的方法，它不需要再生成新的文件。下面是几个例子： F=inline(cos(pi*t) F=inline(z3-2*z-5) F=inline(besselj(0,x) 内嵌对象可以用作函数的函数的输入参数,就像 z=fzerotx(F,0,pi) 这么使用。内嵌对象也可用来直接计算函数的值，下面是一个例子。 residual=F(z),匿名函数,定义：类似（argume
7、nts） expression的结构定义了函数句柄，但没有给它一个名字，所以称为匿名函数。 从MATLAB第7版开始，内嵌对象将被匿名函数这个更强大的结构代替。在MATLAB第7版中，仍允许使用内嵌对象，但推荐使用匿名函数，因为它能生成更高效率的程序代码。上面的一些例子变为 F=(t) cos(pi*t) F=(z) z3-2*z-5 F=(x) besselj(0,x) M文件、内嵌对象和匿名函数，可以定义超过一个输入参数的函数。在本节讨论的问题中，这些附加参数的值可以通过fzerotx传递给目标函数。这些值在函数求根的迭代过程中保持不变，因此我们可以寻找函数值为特定的y时x的解，而不仅仅是
8、求函数值为零的解。例如，考虑方程 J0（）=0.5,在MATLAB第6版中，定义一个带两个或三个参数的内嵌对象。 F=inline(besselj(0,x)-y,x,y) 或 B=inline(besselj(n,x)-y,x,n,y) 在MATLAB第7版中，定义一个带两个或三个参数的匿名函数。 F=(x,y)besselj(0,x)-y 或 B=(x,n,y)besselj(n,x)-y 然后，执行 xi=fzerotx(F,0,2,.5)或xi=fzerotx(B,0,2,0,.5) 得到结果为 xi= 1.5211 varargin可以看做“Variable length input
9、argument list”的缩写。在matlab中, varargin提供了一种函数可变参数列表机制。 就是说， 使用了“可变参数列表机制”的函数允许调用者调用该函数时根据需要来改变输入参数的个数。,在图4-2中，用x标记了上述解对应的点（，J0（）。 在MATLAB第6版中，可以使用feval对函数参数求值。表达式 feval(F,x,.) 等价于F(x,.) 它们的区别在于，使用feval时，允许F作为一个被传递来的参数。在MATLAB第7版中，feval就不再需要了。 fzerotx程序开始的一段注释内容如下:,第一段代码对定义搜索区间的变量a、b和c初始化，在初始区间的端点处对函数F
10、求值。 下面是主循环的开始。在每次迭代步的开始，先对a、b和c重新排列，使它们满足zeroin算法中描述的条件。,这部分是收敛条件判断，并可能从循环中退出。 下部分代码是在二分法和两种基于插值的方法间进行选择。,最后一部分代码为下一次迭代步计算F。,4.8 fzerogui,M文件fzerogui用图形界面显示了zero算法和fzerotx程序的执行过程。在迭代的每一步，用户有机会用鼠标选择下一个点的位置，其中，一直包括屏幕上显示为红色的区间二分点。 如果当前a、b和c三个点的位置互不相同时会显示一个蓝色的点，它是由IQI算法得到的下一个近似解。当a=c，也就是只有两个互不相同的点时，屏幕上会
11、显示由割线法得到的一个绿色的点。同时，屏幕上也会用一条虚线画出 f（x），但是算法并不“知道”虚线上的其他函数值。你可以选择任何一点，作为下一个近似解，而不一定遵循zeroin算法选择二分点或插值点。你甚至可以直接去选择虚线与坐标轴的交点。,可知J0(x)的第一个局部极小值在x=3.83附近，执行 bessj0=inline(besselj(0,x); z=fzerogui(bessj0,0 3.83) 后开始几步的情况。 1、一开始，b=c，所以有区间二分点和割线交点两种选择（如图4-3）。,通过贝塞尔函数寻找第一个零解来演示fzerogui是如何工作 的。,图4-3,2、如果选择割线点，那
12、么b点移动到这里，并计算x=b时的J0(x).这时有三个不同的点，因此下一步在区间二分点和IQI算法得到的点之间选择一个（如图4-4）,图4-4,3、如果选择IQI算法得到的点，搜索区间变小，图形用户界面也相应地放大，下一步仍须在区间二分点和割线交点之间选择一个，这时可以看到，这两点碰巧非常接近（如图4-5）,图4-5,4、现在可以选择两个点中的任何一个，或者也可以选靠近它们的其他点。再这样执行两步，区间不断缩小并达到图4-6所示的情形。这是算法快接近收敛时出现的典型情况，函数的图形看上去非常像一条直线，而割线交点或IQI算法得到的点远比区间二分点快得多的收敛过程。再经过几步操作，使函数值改变
13、正负号的区间 长度变得非常小（相对于原始的长度），同时算法停止，将最后得到的b作为结果返回。,图4-6,4.9 寻找函数为某个值的解和反向插值,下面两个问题非常相似： 给定一个函数F(x)和值，求使得F()=； 给定对未知函数F(x)采样得到的一些数据点（xk，yk），以及一个值，求使得F()=。 对于第一个问题，我们可以对任意的x计算F(x)，因此可以使用一个函数零值求解器，求解转后后的函数f(x)=F(x)-。这将得到，使得f()=0,因此F()=。 对于第二个问题，我们需要做某种插值函数，比如根据pchiptx（xk，yk，x）或splinetx（xk，yk，x）得到的。这种方法通常能够
14、较好地完成目标，但计算代价较大，因为零值求解器要反复地计算插值函数的值。利用本书所带的程序，这将导致多次计算插值函数的系数和反复确定合适的区间位置。,对有些情况，更好的一个方法是反向插值，它使用pchip和spline算法时，将xk和yk的角色进行颠倒。 这个方法要求：给定的yk具有单调性，或者至少yk的某个包含目标值的子集单调。按这个方法生成出另一个分段多项式，记为Q(y)，使得Q(yk)=xk.这样就没有必要使用函数零值求解器了，简单地在y=处计算=Q(y)即可。 如何在这两个方法中进行选择，主要依赖于已知的数据是否能很好地用分段多项式插值所表示。也就是说，要看使用插值时把x当成独立自变量
15、好，还是把y当成独立自变量好。,4.10 最优化和fmintx,寻找函数的最大值、最小值的工作，与求函数的零解紧密相关，本节介绍一个类似于zeroin的算法，它可找出一个单变量函数的局部极小值。 问题的定义中包括一个函数f（x）和它所在的区间a，b，目标是求一个x值，它使f（x）在给定区间上达到局部最小。如果这个函数是幺模的，即在这个区间上仅有一个局部极小，那么我们的算法就可以找到它。但如果有多个局部极小，这个算法只能找到其中一个，而这一个也未必是整个区间上的极小值。此外，区间两端点中的某一个也可能是极小点。,能不能使用区间二分法？ 不能使用区间二分法，因为即使我们知道f(a)、f(b)和f(
16、a+b)/2)的值，也无法确定该丢弃哪半个区间，而保证剩下的区间包括最小值。 能不能使用三等分的方法？有哪些缺点？ 将区间三等分的方法是可行的，但效率不高。令h=（b-a）/3, 则u=a+h和v=b-h将区间分为三等份。假设我们发现f(u)f(v), 那么就用v的值代替b，从而将区间长度缩短为原来的三分之二，同时扔保证缩小后的区间包括极小值。 缺点：然而，由于u在新区间的中点处，它在下一步没有用，这样每一步都需要计算函数值两次。,黄金分割搜索法,它的主要思想如图4-7所示，其中a=0、b=1。令h=(b-a),为比1/3略大的量，我们将介绍如何确定它。然后u=a+h，v=b-h将区间分为三个不等长的部分。,黄金分割搜索法是类似于二分法，求最小值的自然算法。,下面第一步是计算f(u)和f(v)。假设我们发现f(u)f(v),那么极
