高中数学秒杀型推论

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1、高中数学秒杀型推论 1 高中数学秒杀型推论 一 函数 1. 抽象函数的周期 （1）f（ax)=f(bx)T=|b-a| （2）f（ax)=-f(bx)T=2|b-a| （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a （4）f(x-a)=f(x+a)T=2a （5）f(x+a)=-f(x)T=2a 2奇偶函数概念的推广及其周期： （1） 对于函数 f （x） ， 若存在常数 a， 使得 f （a-x） =f （a+x） ， 则称 f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数 a， b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| （2）若 f（a-x）=-f（a+x） ，则 f（x）是

2、广义（）型奇 函数，当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期 函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 （1）若 f（x)满足 f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（， ）成中心对称（充要） （2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x） 则函数关于直线 x=成轴对称（充要） 高中数学秒杀型推论 2 4.洛必达法则，设连续可导函数 f(x)和 g(x) 二、三角 1.三角形恒等式 （1）在中， （2） 正切定理&余切定理： 在非 Rt中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） （5） 高中数学秒杀型推论 3 2任意三角形射影定理（又

3、称第一余弦定理） ： 在ABC 中 abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA 3. 任意三角形内切圆半径 r=（S 为面积） ， 外接圆半径 欧拉不等式：R2r 4梅涅劳斯定理 如下图，E.D.F 三点共线的充要条件是 高中数学秒杀型推论 4 5塞瓦定理 如下图，AD、BE、CF 三线共点的充要条件是 6. 斯特瓦尔特定理： 如下图，设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则 有 AB DC+AC BD-AD BCBC DC BD 7、和差化积公式（只记忆第一条） sin+sin=2sincos sin-sin=2cossin 高中数学秒杀型推论 5

4、 cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin 8、积化和差公式 sinsin=- coscos= sincos= cossin= 9、万能公式 10 三角混合不等式： 若 x （0， ),sinx xtanx 高中数学秒杀型推论 6 当 x0 时 sinx x tanx 11.海伦公式变式 如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分 别为 a.b.c，大三角形面积为 ?* 12.双曲函数 定义双曲正弦函数sinhx=， 双曲余弦函数coshx= 易知（1）奇偶性：sinhx 为奇函数，coshx 为偶函数 （2）导函数：（sinhx） =coshx，（coshx

5、）=sinhx （3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x） （5）定义域：xR （6）值域：sinhxR，coshx1，+） 13.三角形三边 a.b.c 成等差数列，则 高中数学秒杀型推论 7 14.三角形不等式 （1）在锐角中， （2）在中， （3）在中，sinAsinBcos2Acos2B 15ASA 的面积公式： 三、复数 1欧拉公式（泰勒级数推出） cos+isin=e i 2棣莫弗定理（欧拉公式推出） （

6、cos+isin） n=cos(n)+isin(n) 3.复数模不等式（三角不等式） |z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立 4 5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) 高中数学秒杀型推论 8 四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项） 1.An+1=kAn+f(n) 两边同除以 k n+1，构造数列 ，通过累加法得出通项公式 2. An+1=kAn+C 设一常数 x，An+1+x=k（An+x） An+1=kAn+（k-1）x 则（k-1）x=C，求出 x=，得到等比数列,公比 为 k 3不动

7、点法： 形如 An+1=（d0，当 d=0 时，则是第二种情况） ， 设函数 f(x)=，x=的根称为 f(x)的不动点， （1）若函数 f（x）有 2 个不动点， 则数列是一 个等比数列，An=，An= （2）若函数 f（x）只有一个不动点 则数列数一个 等差数列，An= （3）若函数 f（x）没有不动点，则数列An是周期数列， 高中数学秒杀型推论 9 周期自己找 4特征方程法： 形如 An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数列， 我们可以用它的特征方程 x-px-q=0 的根来求它的通项公式 （1）若方程有两根 x1，x2， 则 An= x1 n-1+ x 2 n-1 ( , 可根据题目

8、确定) （2）若只有一个根 x0 An=( + n)x0 n-1 ( , 可根据题目确定) 5变系数一阶递推数列 四、不等式 1.权方和不等式（赫德尔不等式推出） 当且仅当 2.黎曼和-定积分不等式 级数与定积分之间的关系 设可积函数 f(x) 高中数学秒杀型推论 10 当 f(x)为减时， 当 f(x)为增时， 3琴生不等式 函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当 f(x)为凹函数，即 f（x）0 时 当 f(x)为凸函数，即 f（x）0 时， 当 mn0 时， 五、排列组合 1隔板法 I 把 n 个元素放到 m 个集合中，所得集合均非空，则有种 x1+x2+xm=n 的正整数解个数为 2

9、.隔板法 II 把 n 个元素放到 m 个集合中，所得集合可为空，则有 种 x1+x2+xm=n 的非负整数解个数为 高中数学秒杀型推论 16 （a1x1+a2x2+amxm） n 展开式的项数为 3.圆排列 从 n 个元素中抽取 m 个元素，按照一定的顺序排列成一圈， 叫做一个圆排列，圆排列的个数 4.重复组合 从 n 个元素中抽取 m 个元素， 元素可以重复选取， 不管顺序， 组成一组，叫重复组合，重复组合个数 5组合恒等式（只例举了最简洁的四个） 6.从互不相同的 n 个非零数字中任取 m 个，所得 m 位数之和 为 S， S=， 其中 为 n 个非零数字的算术平 均数 7 （ax+by

10、） n 展开式中，第 k 项系数绝对值最大，则 高中数学秒杀型推论 17 其中 表示高斯函数，即取整函数 六、解析几何 1圆锥曲线统一极坐标方程 2圆锥曲线统一焦点弦长公式 3 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， C （x3， y3） ， 当且仅当时，三点共线 4. A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4）四点共 圆的充要条件 5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充 要条件=0 6过（x0，y0）引圆锥曲线 F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方 程为 y-y0=F（x,y） （x-x0

11、） ， 当（x0，y0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为 y-y0=F（x0,y0） （x-x0） 高中数学秒杀型推论 18 7.定比分点公式： A（xA，yA） ，B（xB，yB） ，AB 的+1 等分点坐标为（ ） 8.若抛物线 y 2=2px，AB 是抛物线上的动弦，k OAkOB=，则 AB 恒过定点（） 9.抛物线焦点弦性质： 抛物线焦点弦两端点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，焦点弦斜率为 k，焦点弦长度为 L （1）y1y2=-p 2 x1x2= x1+x2=p+= y1+y2= （2）L=x1+x2+p= （3）k= （4） （5） 10圆锥曲线焦点弦性质（通性） ： 高中

12、数学秒杀型推论 19 焦点弦长为 L， （1）已知 x1+x2时， 椭圆：L=2a-e（x1+x2） 双曲线：L=e-2a 抛物线：L=+p （2）已知焦点弦倾斜角 时， L= （3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦 的两个焦半径倒数之和为常数 双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差 为常数 （4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数 （5）圆锥曲线焦点弦 AB 的中垂线于对称轴（标准方程中为 x 轴）于 D， 高中数学秒杀型推论 20 （6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径 11.圆锥曲线的焦半径（通性） （1）极点为焦点，极轴为 x 轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的 为

13、极径，即焦半径， 为极角 （2）已知焦半径端点的横坐标 x 时 12双焦点三角形面积： F1.F2为有心圆锥曲线两焦点 P 为椭圆上一个点， P 为双曲线上一个点， 13.圆锥曲线幂定理： 高中数学秒杀型推论 21 圆锥曲线 F（x,y）Ax 2+By2+Dx+Ey+F=0 与一条过 M（x 0，y0） ， 且倾斜角为 的直线 L 交于 P1.P2两点，则 = 14.点 P（x0，y0）对圆锥曲线 C 引两条切线，连结切点所得 线为切点弦（极线） ，或点 P（x0，y0）为切点，则极线方程 或切线方程为? （1）若 C 为椭圆， （2）若 C 为双曲线， （3）若 C 为抛物线， 15.已知有

14、心圆锥曲线 F（x,y） ，直线 l：f(x,y)，p 是 l 上 一点，射线 OP 交圆锥曲线于点 R，又点 Q 在 OB 上，且满足 ，当 P 在 l 上移动时，Q 的轨迹方程即为 F （x,y）=f(x,y) 16曲线族 F（x,y,t）的包络为 F（x,y,t）=0 17. A（ x1，y1） ， B（ x2，y2） ， 以 AB 为直径的圆的方程为（ x-x1） （x-x2）+（y-y1） （y-y2）=0 18.关于双曲线渐近线： 高中数学秒杀型推论 22 （1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换， 有相同渐近线， 四焦点共圆， 离心率的倒数平方和为 1： （2）焦点到渐近线距离为虚半轴长

15、 b （3）若两渐近线夹角为 ，则双曲线离心率 e= （4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数 （5）过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近 线于 P.Q，则 19过有心圆锥曲线上一定点 P（x0，y0）作倾斜角互补的两 直线与有心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值 过无心圆锥曲线上上一定点 P（x0，y0）作倾斜角互补的 两直线与无心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值 以上情况中，APB 的角平分线 x=x0平行于 y 轴，APB 的 内切圆圆心恒过直线 x=x0. 20.圆锥曲线光学性质： 椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点 高中数学

16、秒杀型推论 23 双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线 必过另一焦点 抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过 焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴 21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且 定值为 b 2 22.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率 切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率 弦中点与中心连线的 斜率= 双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜 率 切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率 弦中点与中心连 线的斜率= 23.抛物线 y 2=2px 内接 RtOAB（以 O 为直角顶点） ，A（x 1， y1）B（x2，y2） （1）x1x2=4p 2，y 1y2=-4p 2 （2）AB 恒过顶点（2p,0） （3）AB 中点轨迹方程 y 2=p（x-2p） （4）AB 边上高的垂足轨迹方程（x-p） 2+y2=p2 （5） （SOAB）min=（）min=4p 2 高中数学秒杀型推论 24 24.对于极坐标方程，从1到2，曲线所围成的面 积 S= 对于极坐标