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1、数学实验结课论文 导弹跟踪问题 班级：信息与计算科学 ：孔雪婷 学号：2012518083实验一 导弹跟踪问题1 实验目的 本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习微分方程的建模和求解，介绍两种求解微分方程的数值方法：Euler法和改进的Euler法，还介绍了仿真方法。2 实际问题 某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹的速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌艇？三数学模型 设坐标系如下，取导弹基地为原点0（0,0）。轴指向正，y轴指向正北方。当t=0时，导弹位
2、于O，敌艇位于点（0，H），（H=120（km）设导弹t时刻的位置为P（），由题意， （4.1）其中。另外在t时刻，敌艇位置应该为，其中=90（km/h）。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌艇，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有 （4.2） （4.3）方程（4.3）初值条件想 x（0）=0，y（0）=0 (4.4)构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。由（4.2）得两边对t求导得即有把（4.1）写为代入上式，就得到轨迹方程。这是一个二阶非线性微分方程，加上初值条件，则初值问题 上式分别为（4.5），（4.6），（4.7）。就是导弹的轨迹的数学模型。四解析方法方程（4
3、.5）可以降阶。令，则式（4.5）化为一介可分离变量方程易得由式（4.7）得，从而于是有 （4.8）于是积分又可以得到利用式（4.6）得,于是导弹轨迹方程为 （4.9）设导弹击中敌艇于B（L，H），以y=H代入（4.9）得 （4.10）而导弹击中敌艇的时刻 （4.11）将数据代入（4.10），（4.11）式，得L=25（km）， T0.2778（h）五数值方法1.Euler方法 Euler方法十分简单，就是用差商代替微商，即将代之以，而将代之以。设导弹到达（）处的时刻为tk，那么得到计算的迭代格式为上式分别为（4.15）（4.16）（4.17）于是 使用MATLAB，编辑文件m4_.m：fun
4、ction m4_1(n)H=120;h=H/n;lamda=90/450;x(1)=0;p(1)=0;y=0:h:H;for i=0:n-1 x(i+2)=x(i+1)+h*p(i+1); p(i+2)=p(i+1)+h*(lamda*sqrt(1+p(i+1)2)/(H-y(i+1);endx；pL=x(n+1)T=x(n+1)/90输入m4_1（4）得到ans = 0 0 0 0.0500 1.5000 0.1167 5.0025 0.2174 11.5254 0.4221L = 11.5254T =0.1281使用MATLAB，建立m4_2.m：function m4_2(N)k=1;
5、for n=N H=120; h=H/n; lamda=90/450; x0=0;p0=0; for i=0:n-1 x1=x0+h*p0; p1=p0+h*(lamda*sqrt(1+p02)/(H-i*h); x0=x1; p0=p1; end L(k)=x1; T(k)=x1/90; k=k+1;endN;L;T 键入m4_2(4,8,12,24,48,96,120,240)得到ans = 4.0000 11.5254 0.1281 8.0000 15.9537 0.1773 12.0000 17.9732 0.1997 24.0000 20.5508 0.2283 48.0000 22
6、.2494 0.2472 96.0000 23.3286 0.2592 120.0000 23.5803 0.2620 240.0000 24.1510 0.2683由方程（4.1），（4.3）解出的表达式，取时间步长，对应时导弹轨迹上点的坐标为，则Euler格式为上式分别为（4.21）（4.22）（4.23）当计算到即停止，于是，使用matlab，编辑m文件：function m4_3(t)H=120;Ve=90;Vw=450;x(1)=0;y(1)=0;T(1)=0;for i=1:10e6 M=(Ve*T(i)-x(i)/(H-y(i); x(i+1)=x(i)+Vw*t/sqrt(1+
7、1/M.2); y(i+1)=y(i)+Vw*t/sqrt(1+M.2); T(i+1)=t+T(i); if y(i+1)=H break; endendT;x;yL=x(i+1)T=x(i+1)/Ve m4_3(0.1) In m4_3 at 6ans = 0 0 0 0.1000 0 45.0000 0.2000 5.3615 89.6795 0.3000 22.6750 131.2155L =22.6750T =0.2519m4_3(0.05)Warning: Divide by zero. In m4_3 at 6ans = 0 0 0 0.0500 0 22.5000 0.1000
8、 1.0374 44.9761 0.1500 3.4121 67.3504 0.2000 7.6462 89.4484 0.2500 14.8679 110.7580 0.3000 29.1948 128.1070L = 29.1948T =0.32442. 改进的Euler方法改进的Euler迭代式上式分别为（4.24）（4.25）（4.26）（4.27）（4.28）6 仿真方法设导弹和敌艇在初始时刻分别位于。此时，导弹指向。而在时，导弹的位置，其中，敌艇的位置则为。这时导弹沿方向飞行，的倾角为；在时导弹的位置为。以此方式，当时，导弹的位置为，其中 （4.33） （4.34） （4.35）
9、（4.36）而敌艇的位置为。如之前一样，当时，仿真停止。这时， 7 实验任务1.应用数学软件MATLAB对问题（4.12）（4.14）进行数值计算，先运用Euler法，与表4.2以及表4.3的数据比较，并以更小的步长计算结果，再用改进的Euler法计算（步长与Euler法相同）用改进的Euler方法取步长为0.1和0.05时计算，用MATLAB验证结果。m.文件function m4_5(t)H=120;Ve=90;Vw=450;x(1)=0;y(1)=0;T(1)=0;for i=1:10e6 M=(Ve*T(i)-x(i)/(H-y(i); x1(i+1)=x(i)+Vw*t/sqrt(1
10、+1/M.2); y1(i+1)=y(i)+Vw*t/sqrt(1+M.2); T(i+1)=i*t; x(i+1)=0.5*(x1(i+1)+x(i)+Vw*t/sqrt(1+(H-y1(i+1)/(Ve*T(i+1)-x1(i+1).2); y(i+1)=0.5*(y1(i+1)+y(i)+Vw*t/sqrt(1+(Ve*T(i+1)-x1(i+1)/(H-y1(i+1).2); if y(i+1)=H break; endendT;x;yL=x(i+1)T=x(i+1)/Ve运行结果： m4_5(0.1)Warning: Divide by zero. In m4_5 at 6ans =
11、 0 0 0 0.1000 2.6808 44.8397 0.2000 12.5752 88.28680.3000 27.0724 130.2557L = 27.0724T =0.3008m4_5(0.05)Warning: Divide by zero. In m4_5 at 6ans = 0 0 0 0.0500 0.5187 22.4880 0.1000 2.1060 44.9219 0.1500 5.0982 67.2021 0.2000 10.1610 89.0691 0.2500 19.6565 108.9880 0.3000 24.2409 130.9903L = 24.2409T = 0.2693得到的结果与书上表4.6和4.7结果一致。
