《平行线的判定和性质知识点详细讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行线的判定和性质知识点详细讲解（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平行线的判定和性质（综合篇） 一、重点和难点： 重点：平行线的判定性质。 难点：平行线的性质与平行线的判定的区分 掌握推理论证的格式。 二、例题： 这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。 上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。 另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目
2、必须要掌握好平行线的判定方法。 例1如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若1=2，2+3=180，求证：1=7 分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。1与7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a/c。 法（一）证明：d是直线（已知） 1+4=180（平角定义） 2+3=180，1=2（已知） 3=4（等角的补角相等） a/c（同位角相等，两直线平行） 1=7（两直线平行，同位角相等） 法（二）证明：2+3=180，1=2（已知） 1+3=180（等量代换） 5=1，6=3（对顶角相等） 5+6=180（等量代换） a/c （同旁
3、角互补，两直线平行） 1=7（两直线平行，同位角相等）。 例2已知如图，1+2=180，A=C，AD平分BDF，求证：BC平分DBE。 分析：只要求得EBC=CBD，由1+2=180推出1=BDC，从而推出AE/FC，从而推出C=EBC而C=A于是可得A=EBC。因此又可得AD/BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出EBC=DBC。 证明：2+BDC=180 （平角定义） 又2+1=180（已知） BDC=1（同角的补角相等） AE/FC（同位角相等两直线平行） EBC=C（两直线平行错角相等） 又A=C（已知） EBC=A（等量代换） AD/BC（同位角相等，两直线平行） ADB=CB
4、D（两直线平行，错角相等） ADF=C（两直线平行，同位角相等） 又DA平分BDF（已知） ADB=ADF（角平分线定义） EBC=DBC（等量代换） BC平分DBE（角平分线定义） 说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。 把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。 三、小结：证明角相等的基本方法 1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题： （1）同角（或等角）的余角相等； （2）同角（或等角）的补角相等；
5、 （3）对顶角相等； （4）两直线平行，同位角相等；错角相等；同旁角互补。 以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。 例3，如图1=2=C，求证B=C。 分析：题设中给出三个相等的角，其中2和C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由2=C则DE/BC。再看题中要证明的结论是B=C，由于C=1，所以只要证明1=B，而1
6、与B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，1=B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径： 证明：2=C（已知）， DE/BC（同位角相等，两直线平行）， 1=B（两直线平行，同位角相等）， 又1=C（已知）， B=C（等量代换）。 例4、已知如图，AB/CD，AD/BC，求证：A=C，B=D。 分析：要证明A=C，B=D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是错角或同旁角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB/CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁角，B、C，因此B+C
7、=180o，同时B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁角B、A，B+A=180o，通过B的中介，就可以证明得A=C。同理，也可得到B=D，整个思路为： 证明：AD/BC（已知）， A+B=180o（两直线平行，同旁角互补）， AB/CD（已知）， B+C=180o（两直线平行，同旁角互补）， A=C（同角的补角相等）， 同理可证B=D。 例5、已知如图，ADBC于D，EGBC于G，E=3，求证：1=2。 分析：要证明1=2，而从图中所示的1和2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下1、2与周边各角的关系，我们
8、看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角1、E；被AB所截，形成错角2、3；而题设明确告诉我们3=E，于是目标集中到证明AD/GE，根据题设中ADBC，EGBC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序： 证明： ADBC于D（已知）， ADC=90o（垂直定义）， EGBC于G（已知）， EGD=90o（垂直定义）， ADC=EGD（等量代换）， EG/AD（同位角相等，两直线平行）， 1=E（两直线平行同位角相等）， 2=3（两直线平行错角相等）， 又E=3（已知）， 1=2（等量代换）。 四、两条直线位置关系的论证。 两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证
9、明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。 1、学过证明两条直线平行的方法有两大类 （一）利用角； （1）同位角相等，两条直线平行； （2）错角相等，两条直线平行； （3）同旁角互补，两条直线平行。 （二）利用直线间位置关系： （1）平行于同一条直线的两条直线平行； *（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。 例6、如图，已知BE/CF，1=2，求证：AB/CD。 分析：要证明AB/CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对错角ABC和DCB，只要证明这对错角相等，而图中的直线位置关系显示，ABC=1+EBC，BCD=2+FCB，条件中又已知1=2，于是只要证明EBC=BCF。 证明： B
10、E/CF（已知）， EBC=FCB（两直线平行，错角相等） 1=2（已知）， 1+EBC=2+FCB（等量加等量其和相等）， 即ABC=BCD（等式性质）， AB/CD（错角相等，两直线平行）。 例7、如图CDAB，EFAB，1=2，求证：DG/BC。 分析：要证明DG/BC，只需证明1=DCB，由于1=2，只需证明2=DCB，2与DCB又是同位角，只需证明CD/EF。根据题设CDAB，EFAB，CD/EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。 （1）（平行线的判定） （2）CD/EF2=DCB（平行线的性质） （3）1=DCBDG/BC（平行线判定） 在这三个推理的环节中，平行线的判定
11、和性质交替使用，层次分明。 证明：CDAB于D（已知）， CDB=90o（垂直定义）， EFAB于F（已知）， EFB=90o（垂直定义）， CDB=EFB（等量代换）， CD/EF（同位角相等，两直线平行）， 2=DCB（两直线平行，同位角相等） 又1=2（已知）， 1=DCB（等量代换）， DG/BC（错角相等，两直线平行）。 说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、错角或同旁角，设法证明这一组同位角或错角相等，或同旁角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和
12、平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。 2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个： （1）两直线垂直的定义 （2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。） 例8、如图，已知EFAB，3=B，1=2，求证：CDAB。 分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。证明CDAB，根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件EFAB，只要证明EF/CD，要证EF/CD，结合图形，只要证明2=DCB，因为1=2，只需证明DCB=1，而DCB与1是一对错角，因而根据平行线的性质，就需证
13、明DG/BC，要证明DG/BC根据平行线的判定方法只需证明3=B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次： 3=BDG/BCDCB=2 （1）平行线判定 （2）平行线性质 CDAB （3）平行线判定性质 （4）垂直定义 证明：3=B（已知）， DG/BC（同位角相等，两直线平行） 1=DCB（两直线平行，错角相等）， 1=2（已知）， DCB=2（等量代换）， DC/EF（同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法： 接DC/EF（同位角相等，两直线平行）， 又EFAB（已知）， CDAB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。） 3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。 五、一题多解。 例9、已知如图，BED=B+D。求证：AB/CD
