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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,概率论与数理统计习题,湘潭大学编教材,湘潭大学数学与计算科学学院,2,第一章 随机事件及概率,湘潭大学数学与计算科学学院,3,P23习题1.3 试证,证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有,故有,湘潭大学数学与计算科学学院,4,P23习题1.7 在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。,解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，,则样本空间为正方形：,如图所示，K为区域：,K,所以由几何概率得:,x+y=6/5,湘潭大学数学与计算科学学院,5,解：设A=第一次取得红球，B=第二次取得红球,P23习题1.9 袋中有10
2、个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率： (1) 两次都取红球； (2) 两次中一次取得红球，另一次取得白球； (3) 至少一次取得白球； (4) 第二次取得白球。,湘潭大学数学与计算科学学院,6,解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A),湘潭大学数学与计算科学学院,7,解：设A=甲译出密码,B =乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,则A,B,C相互独立，且,C=丙译出密码.,则此密码被译出的概率为,P23习题1.10 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出
3、的概率。,湘潭大学数学与计算科学学院,8,P23习题1.11 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,湘潭大学数学与计算科学学院,9,解 (1)设Ai一箱玻璃杯中含有i个残次品,i=0,1,2;,B=从一箱玻璃杯中任取4只无残次品,由题设可知,P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.,根据全概率公式得,湘潭大学数学与
4、计算科学学院,10,P23习题1.12 设8支枪中有3支未经试射校正， 5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。,湘潭大学数学与计算科学学院,11,解 设A经过校正的枪,C=射击中靶,由题设可知,P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.,根据全概率公式得,B未经校正的枪,湘潭大学数学与计算科学学院,12,P23习题1.13 对飞机进行3次独立射击, 第1次射击的命中率为0.4、第2次为0.5、第3次为0.7. 飞机被
5、击中1次而坠落的概率为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6, 若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.,设B=飞机坠落，Ai=飞机被击中i次, i=1,2,3,由全概率公式,则 B=A1B+A2B+A3B,解:,依题意，,P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),湘潭大学数学与计算科学学院,13,可求得:,为求P(Ai ) ,将数据代入计算得:,设 Hi=飞机被第i次射击击中, i=1,2,3,P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.
6、14.,湘潭大学数学与计算科学学院,14,于是,=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机坠落的概率为0.458.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),湘潭大学数学与计算科学学院,15,P24习题1.14 某人每次射击的命中率为0.6，独立射击5次，求： （1）击中3次的概率； （2）至少有1次未击中的概率.,解:（1),(2) 考虑至少有1次未击中的对立事件，,即每次都击中，其概率为：,故至少有1次未击中的概率为,湘潭大学数学与计算科学学院,16,P24习题1.15 某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时
7、常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.,解：设A=任一指定时刻有3台以上车床发生故障,又因为,湘潭大学数学与计算科学学院,17,有0台车床发生故障的概率为,有1台车床发生故障的概率为,有2台车床发生故障的概率为,故,湘潭大学数学与计算科学学院,18,P24习题1.16 若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修80台呢？,湘潭大学数学与计算科学学院,19,解: (1)
8、 设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,湘潭大学数学与计算科学学院,20,解: (2) 设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,湘潭大学数学与计算科学学院,21,第二章 随机变量及其分布,湘潭大学数学与计算科学学院,22,P43习题2.3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布与E1/(1+X)。,湘潭大学数学与计算科学学院,23,解: X的取值为0,1, 2, 3,PX=0=1/2,X的概率分布为,(2) E1/(X+1)=11/2+
9、1/21/4+1/31/8+1/41/8,=67/96,PX=1=1/21/2=1/4,PX=2=1/21/21/2=1/8,PX=3=1/21/21/2=1/8,湘潭大学数学与计算科学学院,24,P44习题2.8 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度f(x),解:(1)F(x)在x=1点连续,由右连续性得:,即:,所以,A=1,(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,PX=1=F(1)F(10)= 1A =0,湘潭大学数学与计算科学学院,25,0， x0 2x， 0 x1 0， 1x,即:,
10、湘潭大学数学与计算科学学院,26,P44习题2.12 设 r.v XU(2 ,5).现对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。,解:由题意得:,记A=X3,则P(A)=PX3=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),湘潭大学数学与计算科学学院,27,所求为,PY=2+PY=3,=20/27,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),PY2=,湘潭大学数学与计算科学学院,28,内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.,P44习题2.17 设随机变量X的绝对值不大于1 ；,在事件-1X1出现的条件下， X在(-1,1),试求
11、:,(2) X取负值的概率P,(1)X的分布函数F(x),解 (1),(2),湘潭大学数学与计算科学学院,29,F(x)的三性质都不满足,单调减,右不连续,未定义,湘潭大学数学与计算科学学院,30,分布函数F(x)三性质,湘潭大学数学与计算科学学院,31,解,由题设知,设,于是,(1) 当,当,当,上式中令 得,推导较复杂先做准备工作.,湘潭大学数学与计算科学学院,32,又,于是当 时，,湘潭大学数学与计算科学学院,33,(2),湘潭大学数学与计算科学学院,34,由题设 得,附 k 的另一求法,湘潭大学数学与计算科学学院,35,P45习题2.18 设XB(2,0.3),求下列随机变量的分布律
12、1、Y1=X2 2、Y2= X2-2X 3、Y3=3X-X2,解：X的概率分布为PX=k= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：,湘潭大学数学与计算科学学院,36,则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为,湘潭大学数学与计算科学学院,37,P45习题2.19 设随机变量X的概率密度函数为,求随机变量Y=X2的概率密度函数。,解：先求Y的分布函数FY(y)=PY y=PX2 y,当y0时， Y y为不可能事件，,此时FY(y)=0.,当y0时，,FY(y)= PX2 y=,湘潭大学数学与计算科学学院,38,所以Y的概率密度函数为,当y0时，,FY(y)= PX2 y=,湘潭大学数学与计
13、算科学学院,39,第三章 多维随机变量及其分布,湘潭大学数学与计算科学学院,40,P72习题3.2 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的概率分布.,解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4, Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:,湘潭大学数学与计算科学学院,41,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,PX=0,Y=4=,PX=2,Y=2=,=1/4,=6/16,PX=3,Y=1=,=1/4,PX=4,Y=0= 0.54=1/16,PX=1,Y=3=,0.54=1/16,湘潭大学数
14、学与计算科学学院,42,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,联合概率分布表为:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,湘潭大学数学与计算科学学院,43,P73习题3.8 已知随机变量X1和X2的概率分布,X1 -1 0 1,P 1/4 1/2 1/4,X2 0 1,P 1/2 1/2,而且PX1X2=0=1.,(1) 求X1和X2的联合分布；,(2) 问X1和X2是否独立？为什么？,湘潭大学数学与计算科学学院,44,Pi. 1/4 1/2 1/4,P.j 1/2 1/2,解 (1) 因为PX1X
15、2=0=1，,所以PX1X20=0，,即PX1=-1，X2=1=0，,PX1=1，X2=1=0，,0,0,联合概率分布表如右图,PX1=0，X2=1=1/2，,PX1=0，X2=0=0，,1/2,PX1=-1，X2=0=1/4，,0,PX1=1，X2=0=1/4，,1/4,1/4,1,湘潭大学数学与计算科学学院,45,(2) X1和X2不独立。,因为,所以,PX1=0=1/2，,PX1=0，X2=1=1/2,PX2=1=1/2，,PX1=0，X2=1 ,PX1=0PX2=1=1/4,湘潭大学数学与计算科学学院,46,P73习题3.10 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为, 求随机变量X的密度
16、函数； 求概率PX+Y1.,解:(1) 当x0时, fX(x)=0;,所以,y=x,当x0时,湘潭大学数学与计算科学学院,47,P73习题3.10 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为, 求随机变量X的密度函数； 求概率PX+Y1.,解:(2),y=x,x+y=1,1/2,湘潭大学数学与计算科学学院,48,P73习题3.13 设(X,Y)的联合概率密度为,求Z=X2+Y2的概率密度。,湘潭大学数学与计算科学学院,49,解,湘潭大学数学与计算科学学院,50,P73习题3.16 设(X,Y)的联合概率密度为,求： (1) P(XY); (2) 边缘概率密度；,湘潭大学数学与计算科学学院,51,解(1),湘潭大学数学与计算科学学院,52,解(2),同理可得,湘潭大学数学与计算科学学院,
