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1、1 概率论与数理统计复习提要概率论与数理统计复习提要 第一章随机事件与概率 1事件的关系 ABABAABBABA 2运算规则 （1） BAABABBA （2）)()()()(BCACABCBACBA （3）)()()()()(CBCACABBCACCBA （4）BAABBABA 3概率满足的三条公理及性质：)(AP （1） （2）1)(0AP1)(P （3）对互不相容的事件，有 （可以取） n AAA, 21 n k k n k k APAP 11 )()(n （4） （5） 0)(P)(1)(APAP （6）， 若， 则，)()()(ABPAPBAPBA )()()(APBPABP)()(B
2、PAP （7）)()()()(ABPBPAPBAP （8）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率 （1）定义：若，则0)(BP )( )( )|( BP ABP BAP （2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP 若为完备事件组，则有 n BBB, 21 0)( i BP （3）全概率公式： n i ii BAPBPAP 1 )|()()( （4）Bayes 公式： n i ii kk k BAPBP BAPBP ABP 1 )|()( )|()( )|( 7事件的独立性： 独立 （注意独立性
3、的应用）BA,)()()(BPAPABP 2 第二章随机变量与概率分布 1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1）， （2）=1 ii pxXP)(0 i p i i p （3）对任意，RD Dxi i i p : )( 2 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；)(xf1)(, 0)( - dxxfxf （2）；（3）对任意， b a dxxfbXaP)()(Ra0)( aXP 3 几个常用随机变量 名称与记号分布列或密度数学期望方差 两点分布), 1 (pB，pXP ) 1(pqXP1)0( ppq 二项式分布),(pnB，nkqpCkXP knkk n , 2 , 1 , 0,
4、)( npnpq Poisson 分布)(P , 2 , 1 , 0, ! )( k k ekXP k 几何分布)(pG, 2 , 1,)( 1 kpqkXP k p 1 2 p q 均匀分布),(baU，bxa ab xf , 1 )( 2 ba 12 )( 2 ab 指数分布)(E0,)( xexf x 1 2 1 正态分布),( 2 N 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 2 4 分布函数 ，具有以下性质)()(xXPxF （1）；（2）单调非降；（3）右连续；1)(, 0)(FF （4），特别；)()()(aFbFbXaP)(1)(aFaXP （5）对离散随机变量，； xxi
5、i i pxF : )( （ 6） 对 连 续 随 机 变 量 ，为 连 续 函 数 ， 且 在连 续 点 上 ， x dttfxF)()()(xf )()( xfxF 5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有)(x) 1 , 0(N 3 （ 1）； （ 2）； （ 3） 若， 则5 . 0)0()(1)(xx),( 2 NX ；)()( x xF （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 u) 1 , 0(N)(1)( uuXP 6 随机变量的函数 )(XgY （1）离散时，求的值，将相同的概率相加；Y （ 2）连 续 ，在的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 ， 且 有 一
6、 阶 连 续 导 数 ， 则X)(xgX ，若不单调，先求分布函数，再求导。|)( |)()( 11 ygygfyf XY 第四章 随机变量的数字特征 1期望 (1) 离散时 ， ； i iip xXE)( i ii pxgXgE)()( (2) 连续时，； dxxxfXE)()( dxxfxgXgE)()()( (3) 二维时， ji ijji pyxgYXgE , ),(),(dydxyxfyxgYXgE ),(),(),( (4)；（5）；CCE)()()(XCECXE （6）；)()()(YEXEYXE （7）独立时，YX,)()()(YEXEXYE 2方差 （1）方差，标准差； 22
7、2 )()()()(EXXEXEXEXD)()(XDX （2）；)()(, 0)(XDCXDCD （3）；)()( 2 XDCCXD （4）独立时，YX,)()()(YDXDYXD 3协方差 （1）；)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov （2）；),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov （3）；),(),(),( 2121 YXCovYXCovYXXCov 4 （4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；0),(YXCovYX, （5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD 4相关系数 ； 有， )()( ),(
8、YX YXCov XY 1| XY 1)(,1|baXYPba XY 5 阶原点矩， 阶中心矩k)( k k XEk k k XEXE)( 第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev 不等式 或 2 )( | )(| XD XEXP 2 )( 1| )(| XD XEXP 2大数定律 3中心极限定理 （ 1） 设 随 机 变 量独 立 同 分 布， 则 n XXX, 21 2 )(,)( ii XDXE ， 或 或，),( 2 1 nnNX n i i 近似 ),( 1 2 1 n NX n n i i 近似 )0,1( 1 N n nX n i i 近似 （ 2） 设是次 独 立
9、重 复 试 验 中发 生 的 次 数 ， 则 对 任 意， 有mnApAP)(x 或理解为若，则)(limxx npq npm P n ),(pnBX),(npqnpNX 近似 第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 （1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法） ； （2）样本数字特征： 样本均值（，） ； n i i X n X 1 1 )(XE n XD 2 )( 样本方差（）样本标准差 n i i XX n S 1 22 )( 1 1 22) (SE n i i XX n S 1 2 )( 1 1 样本阶原点矩，样本阶中心矩k n i k ik X n 1 1 k n
10、 i k ik XX n 1 )( 1 2统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）分布 ， 其中独立同分布于标 2 )( 222 2 2 1 2 nXXX n n XXX, 21 5 准正态分布，若且独立，则；) 1 , 0(N)(),( 2 2 1 2 nYnX)( 21 2 nnYX （2） 分布 ，其中且独立；t)( / nt nY X t )(),1 , 0( 2 nYNX （3）分布 ，其中且独立，有下面的F),( / / 21 2 1 nnF nY nX F )(),( 2 2 1 2 nYnX 性质 ),( 1 ),(),
11、( 1 12 21112 nnF nnFnnF F 4正态总体的抽样分布 （1）； （2）；)/,( 2 nNX)()( 1 1 22 2 nX n i i （3）且与独立； （4）；) 1( ) 1( 2 2 2 n Sn X) 1( / nt nS X t （5），)2( )()( 21 21 2121 nnt nn nn S YX t 2 ) 1() 1( 21 2 22 2 112 nn SnSn S （6）) 1, 1( / / 21 2 2 2 2 2 1 2 1 nnF S S F 第七章 参数估计 1矩估计： （1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解
12、方程求出矩估计 2极大似然估计： （1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或 偏导数为 0， 解出极大似然估计 （如无解回到 （1） 直接求最大值， 一般为 min或 max） i x i x 3估计量的评选原则 (1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；) (E 4参数的区间估计（正态） 参数条件估计函数置信区间 已知 2 n x u / 2 n ux 未知 2 ns x t / ) 1( 2 n s ntx 6 2 未知 2 2 2 ) 1( sn ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( 2 2 1 2 2 2
13、2 n sn n sn 复习资料复习资料 一、填空题（一、填空题（15 分）分） 题型一：概率分布的考察题型一：概率分布的考察 【相关公式】 （【相关公式】 （P379） 分布分布参数参数分布律或概率密度分布律或概率密度数学期望（数学期望（E）方差（方差（D） （01）分 布 ）分 布 01p 1 (1),0,1 kk P Xkppk p(1)pp 二项分布二项分布 1 01 n p (1), 0,1, kn k n P Xkpp k kn np(1)npp 负二项分布负二项分布 1 01 r p 1 (1) 1 ,1, rk r k P Xkpp r kr r r p 2 (1)rp p 几
14、何分布几何分布01p 1 (1) 1,2, k PXkpp k 1 p 2 1p p 超几何分布超几何分布 , () () N M a MN nN ,max0,min , MNM knk P Xk N k knNMkn M 为整数 nM N 1 1 nMMNn NNN 泊松分布泊松分布0 ! 0,1,2, ke P Xk k k 均匀分布均匀分布ab 1 ,axb ba ( )f x 0,其他 2 ab 2 () 12 ba 【相关例题】【相关例题】 1、设，则求 a，b 的值。( , )XU a b()2E X 1 ( ) 3 D Z 7 2 1 ( , ),()2,(), 3 ()1 2,
15、 2123 1,3. XU a b E XD X abba ab ab 解：根据性质： 解得： 2、已知,则求 n，p 的值。( , ),()0.5,()0.45Xb n p E XD X 0.5,(1)0.45 0.1. npnpp p 解： 由题意得： 解得： 题型二：正态总体均值与方差的区间估计题型二：正态总体均值与方差的区间估计 【相关公式】 （【相关公式】 （P163） 2 /2 ,1- / X n Xz n 为已知由枢轴量，得到 的一个置信水平为的置信区间： 【相关例题】【相关例题】 1、 （样本容量已知） 1225 ( ,0.81),5,0.99XNXXXX已知总体 为样本 且则 的置信度的 置信区间为： /20.025 0.9 550.18 1.964.6472,5.3528 5 Xzz n 解：代入公式得： 2、 （样本容量未知） 123 ( ,1),0.9510.88,18.92 . n XNXXXX已知为样本容量 若关于 的置信度的置信区间，
