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1、第二篇 热 学,研究物质各种热现象的性质和变化规律,热力学,统计物理学,量子统计物理,热力学第一定律 热力学第二定律,统计方法 宏观量是微观量的统计平均,玻耳兹曼,统计物理学基础,第四章,麦克斯韦,4-1 平衡态 温度 理想气体状态方程,一、基本概念及研究方法,1、基本概念,物质由大量分子组成。,分子在不停地、无规则地运动，剧烈程度与物体的温度有关。,分子间有相互作用力。,分子之间存在相互作用力-分子力。,为斥力且 减小时f 急剧增加,为平衡态，f=0,注意, d 可视为分子力程；数量级在10-10-10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。,分子力是电性力，远大于万有引力。,2、研究方法
2、,单个分子仍遵守力学规律,大量分子进行统计平均。, 统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,为清楚起见 , 从正面来观察。,( 偶然 ),隔板,铁钉,统计规律和方法 伽尔顿板,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。,再投入小球：,经一定段时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,小球数按空间 位置 分布曲线,统计规律和方法 伽尔顿板,二、 统计的基本概念
3、,1、概率,如果N次试验中出现A事件的次数为NA ,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。,概率的性质:,(1) 概率取值域为,(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.,几率归一化条件,(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和,(4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积,2、概率分布函数,随机变量,在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。, 离散型随机变量,取值有限、分立,表示方式, 连续型随机变量,取值无限、连续,随机变量X的概率密度,变量取值在x x+dx间隔内的概率,概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,又称为概率分布函数（简称分布函数）。,3、统计平均值,算
4、术平均值为,统计平均值为,随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值 乘积的总和。,对于离散型随机变量,对于连续型随机变量,统计平均值为,“涨落”现象,-测量值与统计值之间总有偏离,处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。,布朗运动是可观测的涨落现象之一。,三、平衡态,1、热力学系统（热力学研究的对象）： 大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。,外界：热力学系统以外的物体。,系统分类1（按系统与外界交换特点）：,孤立系统：与外界既无能量又无物质交换 封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交
5、换 开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换,系统分类2（按系统所处状态）：,平衡态系统 非平衡态系统,2、热平衡态 在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。,平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换， (2) 系统的宏观性质不随时间改变。,箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。,例如：粒子数,说明：,平衡态是一种理想状态,处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。,平衡态是一种热动平衡,4、对热力学系统的描述：,宏
6、观量状态参量 平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。 如 压强 p、体积 V、温度 T 等。,微观量 描述系统内个别微观粒子特征的物理量。 如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。,3、非平衡态 不具备两个平衡条件之一的系统。,四、理想气体状态方程,理想气体,例、氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。,解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为,使用时的
7、温度为T,设可供 x 天使用,分别对它们列出状态方程，有,例、若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m。则该理想气体的分子数为多少？,解：,五、理想气体的微观假设,1、理想气体的分子模型,分子可以看作质点,除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。,分子间的碰撞是完全弹性的。,理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。,遵从力学规律,每个分子速度各不相同，且通过碰撞不停地改变。,气体的性质与方向无关， 即在各个方向上速率的各种平均值相等。,忽略重力作用，按位置分布是均匀的。,2、理想气体的分子性质,平衡态下：,注意：是速度平均值相同,4-2 理想气体的压强公式,每个分子对器壁的作
8、用,所有分子对器壁的作用单位时间内的冲量,理想气体的压强公式,一、理想气体的压强公式,1、基本思路,2、理想气体的压强公式的推导,平衡态下器壁各处压强相同，选dA面求其所受压强。,一定质量的处于平衡态的某种理想气体。,i分子动量增量,i分子对器壁的冲量,单位时间内对器壁的冲量,按速度分布均匀,具有 速率的分子对器壁的冲力为,所有分子对dA面的平均作用力,压强,分子的平均平动动能,3、压强的统计意义,压强是大量分子在单位时间内对器壁单位面积上的平均冲力，是大量分子的集体行为的统计平均量，单个分子无压强。,二、温度的统计解释,温度是气体分子平均平动动能大小的量度,1、平均平动动能与温度的关系,玻尔
9、兹曼常量,T是大量分子热运动剧烈程度的度量，平均平动动能是T的单值函数。,例、（1）在一个装有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？,解：,2、温度的统计意义,温度的实质：物质内部分子作热运动剧烈程度的度量。对于单个分子只有 ，绝无T, 是温度T的单值函数，只在平衡态下成立。,气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。,三、气体分子的方均根速率,1、自由度 i,确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。,以刚性分子（分子内
10、原子间距离保持不变）为例,四、能量均分定理,平动自由度t=3,2、能量均分定理,气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。,注意：统计结果，通过碰撞实现，平衡态下成立。,平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是,能量按自由度均分定理,如果某种气体的分子有 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度.则分子具有：,注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份 振动的动能外，还有一份平均势能。,结论：分子的平均总能量,对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为,单原子：,多原子：,双原子：,
11、对气、液、固体均成立,五、理想气体的内能,分子间相互作用可以忽略不计,理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和,1mol 理想气体的内能为,一定质量理想气体的内能为,温度改变，内能改变量为,例、就质量而言，空气是由76的N2，23的O2和1的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol 空气在标准状态下的内能。,解： 在空气中,N2质量,摩尔数,O2质量,摩尔数,Ar质量,摩尔数,1mol 空气在标准状态下的内能,平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律
12、。,温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。,4-3 麦克斯韦分子速率分布率,一、分子速率分布的实验测定,测定分子速率分布的实验装置,圆筒不转，分子束的分子都射在P 处,圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置,下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。,二、气体分子的速率分布 分布函数,1、速率分布,将速率分成若干个小区间，某一区间上的分子数占总分子数的百分比即是速率分布。,总分子数,速率分布,物理意义： 附近，单位速率间隔上的分子数占总分子数的百分比。,讨论：
13、若 为已知, 附近， 区间上的分子数为,占总分子数的百分比为,归一化条件,2、速率分布函数,三、麦克斯韦速率分布规律,理想气体处于平衡态且无外力场时，速率分布函数为,一个分子处于 区间内的概率,麦克斯韦速率分布函数,麦克斯韦速率分布曲线,讨论：最概然速率,与分布函数 的极大值相对应的速率,物理意义：它表示将 分成若干个小区间， 所在的区间上的分子数占总分子数的百分比最大。,极值条件,多数分子速率大,温度越高，分布曲线中的最概然速率 增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低,氧气分子分布函数和温度的关系,分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求
14、曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。,1、最概然速率,2、平均速率,四、分子速率的三个统计值,对于连续分布的所有分子,在麦氏分布下所有分子的平均速率,3、方均根速率,在 区间,( n 为分子数密度),说明下列各量的物理意义：,？,思考题,解：, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数占总分子数的比率。, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。, 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。, 分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。, 分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。, 分布
15、在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）, v2 的平均值。,解： (1)气体分子的分布曲线如图,由归一化条件,平均速率,方均速率,方均根速率为,(3)速率介于0v0/3之间的分子数,(4)速率介于0v0/3之间的气体分子平均速率为,o,例：如图，两条曲线分别是同温度下的H2和O2 的麦克斯韦速率分布曲线。求,解：,例：求速率在 与1.01 之间的气体分子数占总分子数的百分比。设氢气的温度为300C，求速率在 到 之间的分子数 与速率在 到 之间的分子数 之比 。,解：,设速率在 与 之间的分子数为,4-4 玻耳兹曼分布律,一、麦克斯韦速率分布率的缺憾,1、不考虑外力场的作
16、用,3、没有考虑速度的方向,二、麦克斯韦速度分布律,取一速度空间，坐标轴为,在v 附近，dv 区间上的分子即是处在一个半径为v ，厚度为dv的速度球壳上的分子，其上任一分子的速度为,球壳的体积为,其上分子数占总分子数的百分比为,麦克斯韦速度分布函数,速度空间单位体积内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）,若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中,气体分子分布规律如何,三 、 玻耳兹曼分布律,该区间上分子数为,1、在位置空间dxdydz上的分子数,设：,是容器的体积,具有 的分子在容器中的分子数密度为,按位置分布是均匀的,任一点 附近，dxdydz区间上具有 速度的分子数,如气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek,在麦克斯韦速度分布律中，,因子,理想气体分子仅有动能,麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布,2、麦克斯韦玻耳兹曼分布,玻耳兹
