《1408编号概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章习题参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1408编号概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章习题参考答案（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 习题习题 1.1 1 写出下列随机试验的样本空间： （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个 解： （1） = (0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （2） = (x1 ,
2、 x2 , x3)：x1 , x2 , x3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6； （3） = (1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，(0, 0, , 0, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （4） = BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R； （5） = BW，BR，WB，WR，RB，RW， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R 2 先抛一枚硬币，若出现正面（记为 Z） ，则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为 F） ，则再抛 一枚硬币，试验停止那么该试验的样本空间是什么
3、？ 解： = Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF 3 设 A, B, C 为三事件，试表示下列事件： （1）A, B, C 都发生或都不发生； （2）A, B, C 中不多于一个发生； （3）A, B, C 中不多于两个发生； （4）A, B, C 中至少有两个发生 解： （1）CBAABC U； （2）CBACBACBACBAUUU； （3）ABC或CBACBACBACBABCACBACABUUUUUU； （4）ABCBCACBACABUUU 4 指出下列事件等式成立的条件： （1）AB = A； （2）AB = A 解： （1）当 A B 时，AB = A； （2）当 A B
4、时，AB = A 5 设 X 为随机变量，其样本空间为 = 0 X 2，记事件 A = 0.5 X 1，B = 0.25 X 1.5，写出 下列各事件： （1）BA； （2）BA U； 2 （3）AB； （4）BAU 解： （1）5 . 115 . 025. 0=XXBAU； （2）=20XBA U； （3）AXXAB=215 . 00U； （4）BXXBA= 2” ，C =“X = 0” ，D =“X = 4” 解：A = (1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)，B = (1, 1, 1)，C = (0, 0, 0)，D = 7 试问下列命题是否成立？ （1）A (B C
5、 ) = (A B )C； （2）若 AB = 且 C A，则 BC = ； （3）(AB ) B = A； （4）(A B )B = A 解： （1）不成立，CBAACBAACBACBACBACBACBAUUUU)()()()(=； （2）成立，因 C A，有 BC AB = ，故 BC = ； （3）不成立，因ABABABBBABBABBA=UUU)()(； （4）不成立，因ABABBBABBABBA=UUUUU)()( 8 若事件 ABC = ，是否一定有 AB = ？ 解：不能得出此结论，如当 C = 时，无论 AB 为任何事件，都有 ABC = 9 请叙述下列事件的对立事件： （1）
6、A =“掷两枚硬币，皆为正面” ； （2）B =“射击三次，皆命中目标” ； （3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品” 解： （1）=A“掷两枚硬币，至少有一个反面” ； （2）=B“射击三次，至少有一次没有命中目标” ； （3）=C“加工四个零件，皆为不合格品” 10证明下列事件的运算公式： （1）BAABAU=； （2）BAABAUU= A B (A B )C C A (B C ) C A B 3 证： （1）AABBABAAB=)(UU； （2）BABABAAABAAUUUUU=)()( 11设 F 为一事件域，若 An F ，n = 1, 2, ，试证： （1） F ； （2）有
7、限并 = U n i i A 1 F ，n 1； （3）有限交 = I n i i A 1 F ，n 1； （4）可列交 + = I 1i i AF ； （5）差运算 A1 A 2 F 证： （1）由事件域定义条件 1，知 F ，再由定义条件 2，可得=F ； （2）在定义条件 3 中，取 An + 1 = An + 2 = = ，可得= = UU 11i i n i i AAF ； （3）由定义条件 2，知 n AAA, 21 LF ，根据（2）小题结论，可得 = U n i i A 1 F ， 再由定义条件 2，知 = U n i i A 1 F ，即 = I n i i A 1 F ；
8、（4）由定义条件 2，知LL, 21n AAAF ，根据定义条件 3，可得 = U 1i i AF ， 再由定义条件 2，知 = U 1i i AF ，即 = I 1i i AF ； （5）由定义条件 2，知 2 AF ，根据（3）小题结论，可得 21A AF ，即 A1 A 2 F 4 习题习题 1.2 1 对于组合数 r n ，证明： （1） = rn n r n ； （2） + = r n r n r n1 1 1 ； （3） n n nnn 2 10 = + + L； （4） 1 2 2 2 1 = + + n n n n n nn L； （5） + = + + n bab n a n
9、 ba n ba 0110 L，n = mina, b； （6） = + + n n n nnn2 10 222 L 证： （1） = = = r n rrn n rnnrn n rn n !)!( ! )!()!( ! ； （2） = =+ = + = + r n rnr n rnr rnr n rnr n rnr n r n r n )!( ! ! )( )!( ! )!1( )!1( ! )!1( )!()!1( )!1( 1 1 1 ； （3）由二项式展开定理 nnnn y n n yx n x n yx + + =+ L 1 10 )(，令 x = y = 1，得 n n nnn 2
10、 10 = + + L； （4）当 1 r n 时， = = = = 1 1 )!()!1( )!1( )!()!1( ! )!(! ! r n n rnr n n rnr n rnr n r r n r， 故 1 2 1 1 1 1 0 1 2 2 1 = + + = + + n n n n n n n n n n n n nn LL； （5）因 aa x a a x aa x + + =+L 10 )1 (， bb x b b x bb x + + =+L 10 )1 (， 两式相乘，其中 x n的系数为 + + 0110 b n a n ba n ba L， 5 另一方面 bababa
11、x a ba x baba xxx + + + + + + =+=+L 10 )1 ()1 ()1 (， 其中 x n的系数为 + n ba ，即 + = + + n bab n a n ba n ba 0110 L； （6）在（5）小题结论中，取 a = b = n，有 = + + n nn n n n nn n nn2 0110 L， 再由（1）小题结论，知 = rn n r n ，即 = + + n n n nnn2 10 222 L 2 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率 解：样本点总数 n = 23 = 8， 事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面” ，其所含样本点个数
12、为 1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为 k = 8 1 = 7， 故所求概率为 8 7 )(=AP 3 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率 解：将所有正整数看作两个类“偶数” 、 “奇数” ，样本点总数 n = 22 = 4， 事件“两个都是偶数”所含样本点个数为 1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为 1， 即事件 A =“它们的和为偶数”所含样本点个数 k = 2， 故所求概率为 2 1 4 2 )(=AP 4 掷两枚骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为 6； （2）点数之和不超过 6； （3）至少有一个 6 点 解：样本点总数 n = 62 = 36 （1）事
13、件 A1 =“点数之和为 6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数 k1 = 5， 故所求概率为 36 5 )( 1 =AP； （2）事件 A2 =“点数之和不超过 6”的样本点有 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数 k2 = 15， 故所求概率为 12 5 36 15 )( 2 =AP； （3）事件 A3 =“至少有一个 6 点”的样本点有 (1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k3 = 11， 故所求概率为 36 11 )( 3 =AP 5 考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0，其中 B, C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方 程有实根的概率 p 和有重根的概率 q 解：样本点总数 n = 62 = 36， 事件 A1 =“该方程有实根” ，即 B 2 4C 0，样本点有 6
