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1、 - 1 - 微专题 95 高中涉及的统计学知识 一、基础知识： （一）随机抽样： 1、抽签法：把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀N 后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到容量为的样本nn 2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤： （1）先将总体的个个体编号N （2）确定分段间隔，设样本容量为，若为整数，则kn N n N k n （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号 ，则后面每段所确定的个体编号与前l 一段确定的个体编号差距为，例如：第 2 段所确定的个体编号为，第段所确定的个klkm 体编号为，直至完成样本1lmk 注 ：
2、（1）若不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被整 N n n 除， 再进行系统抽样。 例如 501 名学生所抽取的样本容量为 10， 则先随机抽去 1 个， 剩下的500 个个体参加系统抽样 （2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k 3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定 的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。 分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到 （二）频率分布直方图： 1、频数与频率 （1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或
3、一组数据在某个确定的范围内出现的数 据的个数. （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数 （3）各试验结果的频率之和等于 1 2、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表 （表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出 （1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 （2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常 5-12 组） ，则组内数据的极差称为组距，所以 - 2 - 有组距=极差/组数 （3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图 （4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距” （5）频
4、率分布直方图的特点： 频率=，即分布图中每个小矩形的面积 频率 组距 组距 因为各试验结果的频率之和等于 1， 所以可得在频率分布直方图中， 各个矩形的面积和为 1 （三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据 中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。并按末位数之前的数位进行 分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次 （四）统计数据中的数字特征： 1、众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数 2、中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数为 奇数个，则为中间的数；若数据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均
5、值。 3、平均数：代表一组数据的平均水平，记为，设一组数据为：，则有：x 12 , n x xx 12n xxx x n 4、方差：代表数据分布的分散程度，记为，设一组数据为：，其平均数为， 2 s 12 , n x xxx 则有：，其中越小，说明数据越集中 222 2 12 1 n sxxxxxx n 2 s 5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根 二、典型例题 例 1：某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为1000 的样本， 已知在高一年级抽取了人， 高二年级抽取了人， 则高中部共有学生_1857560 人 思路：分层抽样即按比例抽样，由高
6、一年级和高二年级的人数可得高三人数为 人，所以抽样比为，从而总人数为人185756050 501 = 100020 1 1853700 20 答案：3700 例 2：某企业三月中旬生产，ABC 三种产品共 3000 件，根据分层抽样的结果；企业统计 员制作了如下的统计表格： - 3 - 产品类别ABC 产品数量（件）1300 样本容量（件）130 由于不小心，表格中 AC 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量 比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是 件 思路 ： 由产品可得抽样比为， 所以若A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，B 1
7、301 130010 则A产品的数量比C产品的数量多， 且产品数量和为， 1 10100 10 ,A C300013001700 从而可解得产品的数量为 C800 答案：800 例 3： 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维 所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 根中_5,40 根棉花纤维的长度小于 15mm 思 路 ： 由 频 率 直 方 图 的 横 纵 轴 可 得 ： 组 距 为 5mm， 所 以 小 于 15mm 的 频 率 为 ，所以小于 15mm 共有根 0.010.0150.11000.1=10 答案：10
8、例 4： 某班甲、乙两位同学升入高中以来的 5 次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这 5 次 数学成绩的中位数是 ； 已知两位同学这 5 次成绩的平均数都是 84，成绩比较稳定的 是 （第二个空填“甲”或“乙” ） - 4 - 思路 ： 由茎叶图可读出，乙同学的成绩为，甲同学的成绩为，79,80,82,88,9181,82,83,84,91 所以乙同学的成绩的中位数为，相比较而言，甲同学的成绩比较集中，所以比较稳定的是82 甲 答案：，甲82 小炼有话说：在求中位数时要注意先将数据从小到大排列，判断成绩稳定，本题甲，乙稳定 性的判断定量上要依靠方差，但因为本题从茎叶图上看出甲，乙数据稳定性差
9、距较大，所以 定性的判断。 例 6：某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取 100 名学生，将其数学成绩分成五段： ，它的频率分布直方图如图所示，则该批学 50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130 130,150 生中成绩不低于 90 分的人数是_ 思路 ：的高度未知， 但由于直方图体现的是全部样本的情况， 所以各部分频率和为 1，90,100 可以考虑间接法。从图中可观察到的频率为，所以不50,900.00250.0150200.35 低于 90 分的频率为，故人数为（人）10.350.651000.6565 答案： 65 - 5 - 例 7：从某小区抽取 100
10、 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率 分布直方图所示 （1）直方图中的值为_；x （2）在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_100,250 思路：（1）依题意可得频率直方图中的频率和等于 1，由图可得组距为，所以有50 ，解得0.00240.00360.00600.00240.0012501x0.0044x （ 2） 图 中的 频 率 为， 所 以 用 户 数 为100,2500.00360.0060.0044500.7 （户）1000.770 答案：（1） （2）户0.0044x 70 例 7：某校 1000 名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，
11、分数不低于即为优秀，如果a 优秀的人数为 175 人，则的估计值是_a 思路：可先从频率直方图中按分数从高到低统计分数段的人数，组距为，从而可得：10 的人数为，同理可得的人数为人，而优秀140,15010000.01 10100130,140150 的人数为人，所以应包含的全体，以及中的一半人数，所以估计值175140,150130,140 为到的中间值，即130140135 答案： 135a - 6 - 例 8：某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：）,随机选择了位中学生进行调查,hn 根据所得数据，画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、 第
12、 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列，又第一小组的频数是 10，则 n _. 思路 ： 设第一个的面积为，则第 4 个为，第 2 个为，第 3 个为 1 Sa 4 0.1Sa 2 0.2Sa ，依题意可得四部分的频率和为 ，从而可解得， 3 0.3Sa1 1234 1SSSS0.1a 所以，从而 1 0.1S 10 100 0.1 n 答案： 100 例 9：某单位有职工 200 名，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随 机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，196200 号）.若 第 5 组抽出的号码为 22，
13、则第 10 组抽出的号码应是_ 思路 ： 由系统抽样可知， 每组抽出的号码依次成等差数列， 且公差为组距， 所以，5d 5 22a 则 105 5222547aad 答案：47 例 10：某单位有 840 名职工， 现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查， 将 840 人按 1， 2， ， 840 随机编号， 则抽取的 42 人中， 编号落入区间的人数为 61,120 思 路 ： 由 系 统 抽 样 可 知 ： 组 距 为， 所 以 区 间可 拆 分 为 840 20 42 61,120 ，而每个区间只有一人被抽取，所以共有 3 人61,80 , 81,100 , 101,120 答案： 3
