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1、第二章：统计第二章：统计 1、抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 系统抽样（总体个数较多） 分层抽样（总体中差异明显） 注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。 N n 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布 趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： 平均数：； 取值为的频率分别为，
2、则其平均数为 n xxxx x n 321 n xxx, 21 n ppp, 21 ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 nnp xpxpx 2211 方差与标准差：一组样本数据方差：；标准差： n xxx, 21 2 1 2 )( 1 n i i xx n s 2 1 )( 1 n i i xx n s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； 制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程：（最小二乘法）abxy 注意：线性回归直线经过定点。 1 2 2 1 n ii i
3、n i i x ynxy b xnx aybx ),(yx 第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点； 随机事件 A 的概率：.1)( 0 , )(AP n m AP 2、古典概型： 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个； 每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件， 则事件 A 发生的概率. n m AP)( 3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事
4、件都是等可能发生。 几何概型概率计算公式：； 的测度 的测度 D d AP)( 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。 4、互斥事件： 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； 如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。 n AAA, 21 n AAA, 21 如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和， 即：)()()(BPAPBAP 如果事件彼此互斥，则有： n AAA, 21 )()()()( 2121nn APAPAPAAAP 对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 事件的对立事件记作 AA)(
5、1)(, 1)()(APAPAPAP 对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。 1、基本概念 互斥事件：不可能同时发生的两个事件. 如果事件，其中任何两个都是互斥事件，则说事件彼此互斥.ABC、 、ABC、 、 当是互斥事件时，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于事件分AB、ABAB、AB、 别发生的概率的和，即.()( )( )P ABP AP B 对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.对立事件的概率和等于 1. AA . ( )1( )P AP A 特别提醒：特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个
6、事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定 是对立事件是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件. 相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，（即其中一个事件即其中一个事件ABBA 是否发生对另一个事件发生的概率没有影响是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件. 当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于事件分别AB、A BAB、AB、 发生的概率的积.即 .()( )( )P A BP AP B 若 A、B 两事件相互
7、独立，则 A 与B、A与 B、A与B也都是相互独立的. 独立重复试验独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.独立重复试验的概率公式nn 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个试验恰好发生次的概率pnk ( )(1)0,1 2,., kkn k nn PknkC pp 条件概率：条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记 作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.公式： () (), ( )0. ( ) P AB P B AP A P A 2、离散型随机变量 2、
8、离散型随机变量 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常 用字母等表示., , ,X Y 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散 型随机变量. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可 以一一列出. 若是随机变量，是常数） 则也是随机变量 并且不改变其属性
9、（离散型、 连续型）.X( ,YaXb a bY 3、3、离散型随机变量的分布列 概率分布（分布列） 设离散型随机变量可能取的不同值为，X 12 ,x x i x n x 的每一个值（）的概率，则称表X i x1,2,in() ii P Xxp X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 为随机变量的概率分布，简称的分布列.性质： 性质： XX0,1,2,. ; i pin 1 1. n i i p 两点分布 如果随机变量的分布列为X 则称服从两点分布两点分布，并称为成功概率.X(1)pP X 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复
10、试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 是 ()(1). kkn k n P XkC pp 其中，于是得到随机变量的概率分布如下：0,1,2,., ,1knqp X X01kn P 00n n C p q 111n n C p q kkn k n C p q 0nn n C p q 我们称这样的随机变量服从二项分布二项分布，记作，并称 p 为成功概率.XpnBX, 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： 对立性：对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：重复性：即试验是独立重复地进行了次;n 等概率性：等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：二项分布的模型是有放回抽
11、样；二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是, , .p k n 超几何分布 一般地, 在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件MNnX X01 P 1p p 发生的概率为,于是得到随机变量的概率分布如下： Xk ()(0,1,2,) kn k MNM n N C C P Xkkm C X 其中,. min,mM n * , ,nN MN n M NN 我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且X 称随机变量服从超几何分布.超几何分布.X 注:超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布的模型是不放回抽样； 超几何分布中的参数是超几何分布中的参数是其意义分别是 总体中的个
12、体总数、N 中一类的总数、样本容量., .M N n 4、4、离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为X X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）均值或数学期望（简称期望）.它它 1122iinn E Xx px px px pX 反映了离散型随机变量取值的平均水平反映了离散型随机变量取值的平均水平. 性质： 若服从两点分布，则()().E aXbaE XbX().E Xp 若，则pnBX,().E Xnp 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列为X X
13、1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 则称 为离散型随机变量的方差，方差，并称其算术平方根为为随机变量的标标 2 1 ()() n ii i D XxE Xp X()D XX 准差准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越差，波动越大，()D XX()D XX 取值越分散. 性质： 2 ()().D aXba D X 若服从两点分布，则X()(1).D XpP 若，则pnBX,()(1).D XnpP 5、5、正态分布 X01m
14、 P 00n MN M n N C C C 11n MN M n N C C C mn m MN M n N C C C 正态变量概率密度曲线函数表达式：，其中是参数，且 Rxexf x , 2 1 2 2 2 , .记作如下图：, 0 2 ( ,).N 专题八：统计案例专题八：统计案例 1、回归分析 回归直线方程，bxay 其中相关系数： 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 1 2222 11 n ii i nn ii ii x ynxy xnx
15、yny 2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分另为x1, x2和y1, y2，其样本频数 22 列联表为： y1y2总计 x1aba+b x2cdc+d 总计a+cb+da+b+c+d 若要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系” ，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度. 具体的做法是，由表中的数据算出随机变量的值，其中 2 K 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 为样本容量，K2的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大.nabcd 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。 2 K 时，X 与 Y 无关；时，X 与 Y 有 95%可能性有关；时 X 与 Y 有 99%时，X 与 Y 无关；时，X 与 Y 有 95%可能性有关；时 X 与 Y 有 99% 2 3.841K 2 3.841K 2 6.635K 可能性有关.可能性有关.
