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1、1 概率统计 、 概率论与数理统计 、 随机数学课程 期期 末末 复复 习习 资资 料料 注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解” 的内容一般不考。 注明“了解” 的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(01)分布、二项分布、泊松分布
2、的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独 立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的 联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概
3、 率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方 差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念， 掌握2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法
4、。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤，会 U 检验法、t 检验、检验法、F 检验法解题。 2 24、掌握正态总体均值与方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 4 一维、 二维离散型随机变量的分布律， 连续型随机变量的密度函数性质的运用。 分布中待定参数的确定， 分布律、 密度函数与分布函数的关系， 联合分布与边缘分布、 条件分布的关系， 求数
5、学期望、 方差、 协方差、 相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 5会用中心极限定理解题。 6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布 的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1统计量的判断。 2 2计算样本均值与样本方差及样本矩。 3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 5掌握无偏性与有效性的判断方法。 6会求正态总体均值与方差的置信区间。 7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型
6、 1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子古典概型例子 摸球模型摸球模型 例 1：袋中有 a 个白球，个黑球，从中接连任意取出 m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求 第 m 次取出的球是白球的概率; 例 2： 袋中有 a 个白球，个黑球， c 个红球， 从中任意取出(ma+)个球， 求取出的 m 个球中有 k1(a) 个白球、k2(b) 个黑球、k3(c) 个红球(k1k2k3=m)的概率. 占位模型占位模型 例：n 个质点在 N 个格子中的分布问题.设有 n 个不同质点，每个质点都以概率 1/N 落入 N 个格子(Nn)的 任一个之中，求下列事件的概率： (1) A
7、=指定 n 个格子中各有一个质点；(2) B=任意 n 个格子中各有一个质点； (3) C=指定的一个格子中恰有 m(mn)个质点. 抽数模型抽数模型 例：在 09 十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 如对于事件 A，B，或，已知 P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的ABAB 几个，求另外几个。 例例 1：事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB) 例例 2：若 P(A)=0.4，P(
8、B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，)|(BAP)|(BAP)|(BAP 3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 若已知导致事件 A 发生(或者是能与事件 A 同时发生)的几个互斥的事件 B i，i=1,2,n,的概率 P(B i) ，以 及 B i发生的条件下事件 A 发生的条件概率 P(A|B i)，求 事件 A 发生的概率 P(A)以及 A 发生的条件下事件 B i 发生的条件概率 P(B i | A)。 例例：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和 0.1，某顾客欲 购买一箱玻璃杯， 在购买时，
9、售货员随意取一箱， 而顾客随机地察看 4 只， 若无残次品， 则买下该箱玻璃杯， 否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 4 一维、 二维离散型随机变量的分布律， 连续型随机变量的密度函数性质的运用。 分布中待定参数的确定， 分布律、 密度函数与分布函数的关系， 联合分布与边缘分布、 条件分布的关系， 求数学期望、 方差、 协方差、 相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 (1)已知一维离散型随机变量的分布律 P(X=xi)=pi，i=1,2,n,X 确定参数 求概率 P(aXb) 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X)
10、 求函数 Y=g(X)的分布律及期望 Eg(X) 例例：随机变量的分布律为.X X 1234 p k2k3k4k 确定参数 k 求概率 P(0X3)，31 XP 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 3 求函数的分布律及期望 2 )3( XY 2 )3(XE (2)已知一维连续型随机变量的密度函数 f(x)X 确定参数 求概率 P(aXb) 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 求函数 Y=g(X)的密度函数及期望 Eg(X) 例例：已知随机变量的概率密度为，X 其他0 20 2 xkx xf 确定参数 k 求概率31 XP 求分布函数 F(x) 求期望 E
11、(X)，方差 D(X) 求函数的密度及期望XY )( XE (3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律 P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n, 确定参数 求概率 P(X,Y)G 求边缘分布律 P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n, 求条件分布律 P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和 P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n, 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 XY 求函数 Z=g(X, Y)的分布律及期望 Eg(X, Y) 例例
12、：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y X 0123 00.050.10.150.2 10.030.050.050.07 20.020.050.10.13 求概率 P(XY)， P(X=Y) 求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律 P(X=k|Y=2) k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 XY 求 Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律 (4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数 f(x
13、, y)X 确定参数 求概率 P(X,Y)G 求边缘密度，判断是否相互独立)(xfX)(yfYYX, 求条件密度，)|( | yxf YX )|( | xyf XY 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 XY 求函数 Z=g(X, Y)的密度函数及期望 Eg(X, Y) 例例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为， 其它, 0 1, ),( 22 yxycx yxf 4 确定常数的值；c 求概率 P(XY) 求边缘密度，判断是否相互独立)(xfX)(yfYYX, 求条件密度，)|( | yxf YX )|( | xyf X
14、Y 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 XY 5会用中心极限定理解题。 例例 1： 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为，求在 100 次射击中有 180 到 220 发炮弹命 2 5 . 1 中目标的概率 例例 2：设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880 粒发芽的概率。 6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布 的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1统计量的判断。
15、对于来自总体 X 的样本，由样本构成的各种函数是否是统计量。 n XXX, 21 2计算样本均值与样本方差及样本矩。 3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 例例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知X 其它, 0 1 0 , 1xx xf n XX, 1 X 参数的矩估计量与极大似然估计量. 5掌握无偏性与有效性的判断方法。 对于来自总体 X 的样本，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。 n XXX, 21 例例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计 321 ,XXXX ； 321 2 1 10 3 5 1
16、XXX)( 3 1 321 XXX 321 XXX)( 2 1 21 XX 321 12 1 4 3 3 1 XXX 求出方差，比较哪个更有效。 6会求正态总体均值与方差的置信区间。 对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。 7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。 例例：设，u 和未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写出检验 u 与给),( 2 uNX 2 定常数 u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验与给定常数比较是否显著偏大的步骤。 2 2 0 1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子古典概型例子 摸球模型摸球模型 例 1：袋中有 a 个白球，个黑球，从中接连任意取出 m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求 第 m 次取出的球是白球的概率; 分析：本例的样本点就是从 a+
