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1、 概率论与数理统计复习提要 概率论与数理统计复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 2运算规则 （1） （2） （3） （4） 3概率满足的三条公理及性质： （1） （2） （3）对互不相容的事件，有 （可以取） （4） （5） （6），若，则， （7） （8） 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率 （1） 定义：若，则 （2） 乘法公式： 若为完备事件组，则有 （3） 全概率公式： （4） Bayes公式： 7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布 1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2） （3）对任意， 2 连续随机
2、变量：具有概率密度函数，满足（1） （2） ； （3）对任意， 4 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调非降；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量， ； （6） 为连续函数，且在连续点上， 5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则 ； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数， ，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量 1 二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布 ，有 （1）；（2 （3）， 2 二维
3、连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2） （4） （3）； ， 3 二维均匀分布，其中为的面积 4 二维正态分布 且； 5 二维随机向量的分布函数 有 （1）关于单调非降；（2）关于右连续； （3）； （4），； （5）； （6）对二维连续随机向量， 6随机变量的独立性 独立 （1） 离散时 独立 （2） 连续时 独立 （3） 二维正态分布独立，且 7随机变量的函数分布 （1） 和的分布 的密度（2） 最大最小分布 第四章 随机变量的数字特征 1期望 (1) 离散时 (2) 连续时 ， ； ，； (3) 二维时 ， (4)；（5）； （6）； （7）独立时， 2方差 （1）方差，标
4、准差（2）； （3）； （4）独立时， 3协方差 （1）； ； ； （2） （3）； （4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价； （5） 4相关系数 ；有， 5 阶原点矩， 阶中心矩 第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev不等式 2大数定律 3中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布， 或 ， 或 或 ， （2）设是次独立重复试验中发生的次数，则对任意， 或理解为若，则 第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 （1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征： 样本均值（，）； 样本方差 ）样本标准 样本阶原点矩，样本阶中
5、心矩 2统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）分布 ，其中 标准正态分布，若 且独立，则； （2）分布 ，其中且独立； （3）分布 ，其中 性质 4正态总体的抽样分布 （1）； （2 ； （3 且与独立； （4） ； ，（5） （6） 第七章 参数估计 1矩估计： （1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解 方程求出矩估计 2极大似然估计： （1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数 ；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求 最大值，一般为min或max）
6、 3估计量的评选原则 ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若 概率论与数理统计期末试题（2）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则 生的概率为 2 设随机变量服从泊松分布，且，则_. 3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间 密度为 4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_， 5 设总体的概率密度为 是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为 解：1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ，故 . 3设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数 严格单调，反函
7、数为 所以 4 ，故 . 5似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则 （C）若，则 与也独立. 与也独立 （D）若，则与也独立. （ ） 2设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B） （C）. （D）. （ ） 3设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B） （C）. （D）. （ ） 4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. . （ ） （C） （D） 5设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正
8、确的是 （A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量. （ ） 解：1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A）， （B），（C）都是正确的，只能选（D） 事实上由图 可见A与C不独立 2所以 3由不相关的等价条件知应选（B）. 4若独立则有 应选（A）. 2 ， 9 故应选（A） 5，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查 后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是 合格品
9、的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品 则（1） （2） . 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为 五、（10分）设二维随机变量在区域 匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密 （1）的概率密度为 （2）利用公式 其中 当 或时 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和 纵坐标 互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区
10、域的概率；（2）命中点到目标中心距离 1） ； （2） . 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为 ， 因为 ，所以接受 概率论与数理统计期末试题（3）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容， ，则事件、中仅发生或仅 概率为 （2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各 取 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 （3） 设随机变量的概率密度为 现对 察，用表示观察值不大于0.5的次数，则_. （4） 设二维离散型随机变量的分布列为 若，则 （5） 设是总体的样本，是样本方差，若， （注：, , , ） 解：（1） 因为 与不相容，与不相容，所以，故 同理 . . （2）设四个球是同一颜色的， 四个球都是白球，四个球都是黑球 则 . 所求概率为 所以 （3） 其中 ，
