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1、微积分知识总结 青岛大学软件工程班 陈雷第1章 函数，极限与连续第1节 函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。一、函数的概念与表示1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作,其中.原像的集合A叫做函数的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做的值
2、域，显然值域是集合B的子集.构成函数概念的三要素: 定义域(x的取值范围)对应法则（f）值域（y的取值范围）两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致.二、函数的定义域、解析式与值域1、求函数定义域的主要依据：（1）整式的定义域是全体实数；（2）分式的分母不为零；（3）偶次方根的被开方数大于等于零；（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；（5）对数函数的真数必须大于零；（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（7）若函数是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；（8）复合函数的定义域： 若已知的定义域，求复合函数的定义域，相当于求使时的取值
3、范围； 若已知复合函数的定义域，求的定义域，相当于求的值域.2求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合的形式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分子或分母为二次且R的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如的形式可直接用不等式性质；可先化简再用均值不等式；通常用判别式法； 可用判别式法或均值不等式；1-1-222分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：
4、闭区间上的最值；求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.2.注意型函数的图像在单调性中的应用：增区间为，减区间为，；利用对号函数：（如右图）；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数三函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数. 如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数.2.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称;若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0;奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶
5、偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称;看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”四、函数的单调性作用：比较大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间D上是增函数（减函数），区间D叫的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升（y随x的增大而增大或减小而减小）； 减函数：从左到右下降（y随x的增大而减小或减小而增大）；2.判断单调性方法：定义法上是增函数；上是减函数.观察法：根据特殊函数
6、图像特点；掌握规律：对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(i)当和具有相同的增减性时，的增减性与，相同，、的增减性不能确定；(ii)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：的增减性不能确定； 、为增函数；为减函数.3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。4. 复合函数单调性的确定（同增异减）：是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数.5、 函数的对称性函数的图象的对称性（自身）1.函数的图象关于直对称 特殊的有：函数
7、的图象关于直线对称.函数的图象关于轴对称（奇函数）;函数是偶函数关于对称;2.函数的图象关于点对称. 特殊的有： 函数的图象关于点对称; 函数的图象关于原点对称（奇函数）; 函数是奇函数关于点 对称. 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.两个函数图象的对称性:函数与函数的图象关于直线(即轴)对称;函数与函数的图象关于直线对称特殊地: 与函数的图象关于直线对称;函数的图象关于直线对称的解析式为;函数的图象关于点对称的解析式为;函数与的图像关于直线成轴对称函数与的图像关于直线成轴对称函数的图像与x = f (y)的图像关于直线 成轴对称.六函数的周期性：1定义 若是周期函数
8、，T是它的一个周期.说明：nT也是的周期。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么
9、是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，
10、则 (b,a)在y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上; 八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)一般式： ；顶点式：；零点式：1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标，开口向上，开口向下2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值.韦达定理：3.一元二次不等式的解集(a0)二次函数情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0)=b2-4acax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0)图象与解0=00 , a1)互为反函数名
11、称指数函数对数函数一般形式y=ax (a0且a1)y=logax (a0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（，1）（1，）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a1)图象关于y=x对称单调性a 1,在(-,+ )上为增函数a1,在(0,+ )上为增函数a1 ? y0? y0?指数函数图像分布规律：时，越大函数图像在y轴右侧越靠近y轴； 时，越小函数图像在y轴左侧越靠近y轴；对数函数图像分布规律：时，越大函数图像在x轴上方越靠近x轴； 时，越小函数图像在x轴下方越靠近x轴；2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分
12、清底数相同还是指数相同2、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4.指数函数与对数函数中的绝大部分？问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中n为常数.图像及性质：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；所有的幂函数在第四象限没有图像.（2）n0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，
13、当时，图像下凸，当时，图像上凸； （3）n0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数. 在第一象限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.十一函数的图象变换1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即2、对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）十二函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 单调递增； 单调递减2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明： 奇函数； 偶函数3函数的凸凹性： 凹函数（图象“下凹”，如：指数函数） 凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）十三函数的应用:二次函数与二次方程的关系：设一元二次方程的两个不等根为，且，相应的二次函数.方程的根即为二次函数图像与x轴的交点，他们的分步情况如下：
