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1、2.8 函数的图象及其变换 基础知识 自主学习 1.作图 (1)利用描点法作图：确定函数的定义域；化简 函数解析式；讨论函数的性质( 、 、 )；画出函数的图象. (2)利用基本函数图象的变换作图： 平移变换： 函数y=f（x+a）（a0）的图象可以由y=f（x）的图 象向左（a0）或向右(a0)平移 个单位而得到；,奇偶性,单调性,周期性,|a|,函数y=f（x）+b（b0）的图象可以由y=f（x）的图 象向上（b0）或向下（b0，且A1）的图象可由y=f（x） 的图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（00，且1）的图象可由y=f（x） 的图象上各点的横坐标缩短（1）或伸长（01） 到原来的
2、 倍，纵坐标不变而得到.,|b|,A,对称变换： 函数y=-f（x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到； 函数y=f（-x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到； 函数y=-f（-x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到； 函数y=f-1（x）的图象可通过作函数y=f（x）的图象 关于 对称的图形而得到；,x轴,y轴,原点,直线y=x,函数y=|f（x）|的图象可通过作函数y=f（x）的图 象，然后把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分保持不变而得到； 函数y=f（|x|）的图象是：函数y=f（x）在y
3、轴右侧 的部分及其该部分关于y轴对称的部分.,2.基本初等函数及图象（大致图象）,1.直线 的图象可能是（ ） 解析 a0，C不可能. 当a0时， 排除D.,B,基础自测,2.（2009全国文，3）函数 的图 象（ ） A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 解析 -2x2,函数关于原点对称. f(x)是奇函数，故选A.,A,3.函数y=|log2x|的图象是（ ）,解析,A,4.将函数y=3x的图象 再作关于直线y=x对称的图 象，可得到函数y=log3(x+1)的图象 （ ） A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位 C.先向上平
4、行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位 解析 采用逆向思维. 函数y=log3(x+1)的反函数为y=3x-1. 而y=3x-1是由y=3x的图象向下平行移动1个单位 得到的，故选D.,D,5.下列函数图象中，正确的是 （ ）,解析 对A、B，由y=x+a知a1，可知A、B图象 不正确； D中由y=x+a知0a1,y=logax应为减函数，D错， 故选C. 答案 C,题型分类 深度剖析 题型一 根据解析式作图 【例1】 作出下列函数的图象.,首先将简单的复合函数化归为基本初 等函数，然后由基本初等函数图象变换得到.,思维启迪,解 作出 的图象，将 的图象向右平移一 个单位，再向上平移2个单
5、位得 的图象. （3）作出 的图象，保留 图象中 x0的部分，加上 的图象中x0的部分关于 y轴的对称部分，即得 的图象.其图象依次 如下：,（1）若函数解析式中含绝对值，可先 通过讨论去绝对值，再分段作图. （2）利用图象变换作图.,探究提高,知能迁移1 作出下列各个函数的图象： 解 （1）由函数y=2x的图象关于x轴对称可得到 y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得 y=2-2x的图象.如图甲. （2）由 的图象关于y轴对称，可得 的图象，再将图象向右平移1个 单位，即得到 然后把x轴下方的部,分翻折到x轴上方，可得到的图象.如图乙. （3） 先作出 的图象，如图丙中的虚线部分，
6、然 后将图象向左平移1个单位，向上平移2个单位，即 得到所求图象.如图丙所示的实线部分.,题型二 识图 【例2】函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是（ ）,注意从f(x),g(x)的奇偶性、单调性等 方面寻找f(x)g(x)的图象特征. 解析 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、 奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B. 又x0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函 数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正 负，注意到 必等于0， 排除C、D.或注意到x0-(从小于0趋向于0),f(x) g(x)+,也可排
7、除C、D. 答案 A 要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、 零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合 题目特点作出合理取舍.,思维启迪,探究提高,知能迁移2 （2009安徽，理6文8）设ab时，y0,xb时，y0.故选C.,C,题型三 函数图象的应用 【例3】（13分）设a1,函数f(x)=ax+1-2. (1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)若f-1(x)在0,1上的最大值与最小值互为 相反数,求a的值; (3)若f-1(x)的图象不经过第二象限,求a的取值 范围. 关键是(3)的充要条件,f-1(x)的图象与 x轴的交点位于x轴的非负半轴上.,思维启迪,解题示范 解 (1)因为
8、ax+10, 所以f(x)的值域是y|y-2. 2分 设y=ax+1-2,解得x=loga(y+2)-1. 所以f(x)的反函数为 f-1(x)=loga(x+2)-1,x-2. 4分 (2)当a1时,函数f-1(x)=loga(x+2)-1是(-2,+)上 的增函数,所以f-1(0)+f-1(1)=0, 即(loga2-1)+(loga3-1)=0,解得a= . 8分 (3)当a1时,函数f-1(x)是(-2,+)上的增函数, 且经过定点(-1,-1).,所以f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是 f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上. 11分 令loga(x+2)-1=
9、0,解得x=a-2, 由a-20,解得a2.13分 求反函数时必须先求原函数的值域, (3)的充要条件学生不易想到.,探究提高,知能迁移3 设函数 的图象为C1,C1 关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为 g(x). （1）求g(x)的解析式； （2）若直线y=m与C2只有一个交点，求m的值和 交点坐标. 解 (1)设点P（x,y）是C2上的任意一点，则 P（x,y）关于点A（2,1）对称的点为P(4-x, 2-y)，代入 可得,消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0, =(m+6)2-4(4m+9), 直线y=m与C2只有一个交点， =0，解得m=0或m=4. 当m=0时，
10、经检验合理，交点为（3，0）； 当m=4时，经检验合理，交点为（5，4）.,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数 图象首先要明确函数图象的位置和形状:(1)可 通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性、凸凹性等等；（2）可通过函 数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换 等；（3）可通过方程的同解变形，如作函数 的图象.,2.合理处理识图题与用图题. （1）识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下 分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性， 注意图象与函数解析式中参数的关系. （2）用图
11、 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数 量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求 解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数 形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参 数的方程或不等式解集的情况.,失误与防范 1.作图要准确、要抓住关键点. 2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数” 的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用.,定时检测 一、选择题 1.（2008全国理，2）汽车经过启动、加速行 驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其 图象可能是（ ）,解析 汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽 车匀速行驶时,速度保持不变,体现在s与t的
12、函数图 象上是一条直线.减速行驶时,速度变化越来越慢, 但路程仍是增加的,故选A. 答案 A,2.(2009北京理，3)为了得到函数 的 图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析 将y=lg x的图象 上的点向左平移3个单位长度得到y=lg(x+3)图象，再 将y=lg(x+3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到 y=lg(x+3)-1的图象.,C,3.如图所示，液体从一圆锥形漏
13、斗漏入 一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液 体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落 的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的 图象只可能是( ),解析 由题意知液体是匀速漏入圆柱形桶中，随 时间增大，H的增速越来越快，故选B. 答案 B,4.在函数y=|x|(x-1,1)的图 象上有一点P（t,|t|），此函数与 x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如 图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可 表示为（ ）,解析 当t-1,0时，S增速越来越平缓，当 t0,1时，增速越来越快，故选B. 答案 B,5.函数y=2|x|的定义域为a,b,值域为1
14、,16， 当a变动时，函数b=g(a)的图象可以是 （ ）,解析 由图象知b=4, -4a0，故b=g(a), 即为b=4(-4a0)，图象为B. 答案 B,6.函数y=f(x)的图象如下图所示，则函数 的图象大致是( ),解析 的图象在(0,1上 递增，在1,2)上递减（同增异减）.故选C. 答案 C,二、填空题 7.f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，则a= . 解析 y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个 不同的交点. 如图所示，当a=4时满足条件.,4,8.已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时， f(x)=x,且在-1,3内，关于x的方程f(x)=k
15、x+k+1 (kR,k-1)有四个根，则k的取值范围是 . 解析 由题意作出f(x)在-1,3上的示意图如下： 记y=k(x+1)+1, y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0)，由 图象知，方程有四个根，即函数y=f(x)与y=kx+k+1 有四个交点，故kABk0.,9.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是 . 解析 作出函数y=log2(-x)及y=x+1的图象. 其中y=log2(-x)与y=log2x的图象关于y轴对称， 观察图象知（如图所示）， -1x0，即x(-1,0). 也可把原不等式化为,（-1，0）,三、解答题 10.已知g(x)=x(2-x)
16、(0 x1)，g(1)=0，若函数 y=f(x)(xR)是以2为周期的奇函数，且在0，1 上f(x)=g(x)，作出函数y=f(x)(-2x2)的图象并 求其表达式. 解 x0,1)时，f(x)=g(x)=x(2-x); f(x)为奇函数，当x=1时， f(1)=g(1)=0,f(-1)=0=f(1), 若x(-1,0，则-x0,1), g(-x)=-x(2+x), 又f(-x)=g(-x)且f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x)=-x(2+x), f(x)=x(2+x);,将x(-1,0上的图象右移2个单位得到(1,2 上的图象， f(x)=f(x-2)=x(x-2), 将x0,1)上的图象左移2个单位得到x-2,-1) 上的图象， f(x)=f(x+2)=-x(x+2),11.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3x3). （1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象； （3）指出函数f(x)的单调
