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1、【附录一】常见分布汇总【附录一】常见分布汇总 一、二项分布一、二项分布 二项分布 （Binomial Distribution） ， 即重复 n 次的伯努利试验 （Bernoulli Experiment） ， 用 表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是 P,则不发生的概率 q=1-p， N 次独立重复 试验中发生 K 次的概率是。 二、泊松 poisson 分布二、泊松 poisson 分布 1、概念 当二项分布的 n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中 为 np。通常 当 n10,p0.1 时，就可以用泊松公式近似得计算。 2、特点期望和方差均为 。 3、应用（固定
2、速率出现的事物。 ）在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换 台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率 （或称密度）随机且 独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从 泊松分布 三、均匀分布 uniform三、均匀分布 uniform 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)=(x-a)/(b-a)，axb 则称随机变量 X 服从a,b上的均匀分布，记为 XUa,b。 四、指数分布 Exponential Distribution四、指数分布 Exponential Distribution 1、概念 2、特点无记忆性 （1）这种分
3、布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。 （2）无记忆性 当 s,t0 时有 P(Ts+t|Tt)=P(Ts) 即，如果 T 是某一元件的寿命，已知元件使用了 t 小时， 它总共使用至少 s+t 小时的条件概率， 与从开始使用时算起它使用至少 s 小时的概率 相等。 3、应用 在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果 五、正态分布 Normal distribution五、正态分布 Normal distribution 1、概念 2、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础） 中心极限定理 ： 设从均值为 、方差为 2;（有限）的任意
4、一个总体中抽取样本量为 n 的 样本，当 n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 、方差为 2/n 的正态分 布。 3、特点在总体的随机抽样中广泛存在。 4、应用正态分布是假设检验以及极大似然估计法 ML 的理论基础 定理一：设 X1，X2，X3.。 。Xn 是来自正态总体 N（，2）的样本，则有 样本均值 XN（，2/n）总体方差常常未知，用 t 分布较多 六、2 卡方分布（与方差有关）chi-square distribution六、2 卡方分布（与方差有关）chi-square distribution 1、概念 若 n 个相互独立的随机变量 、n ，均服从标准正态分布（也称独立
5、同 分布于标准正态分布） ， 则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和 构成一 新的随机变量， 其分布规律称为 卡方 分布 （chi-square distribution） ， 其中参数 n 称为 自由度 【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和 RSS 残差平方和联系起来。 用 RSS/2，所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。 2、卡方分布的特点 （1）分布的均值为自由度 n，记为 E() = n。 （这个容易证明） （2）分布的方差为 2 倍的自由度(2n)，记为 D() = 2n。 （3）如果 互相独立，则：（独立可加减） 服从 分布，自由度 ； 服从 分布
6、，自由度为 3、图形特点 4、应用 定理二，设 X1，X2，X3.。 。Xn 是来自正态总体 N（，2）的样本，则有 样本均值 XN（，2/n） ）（ 1-n ) 1( 2 2 2 Sn （1）正态分布以及卡方分布是 F 检验的基础。大量的检验用到了 F 检验：F 检验、三大 检验。 七、t 学生分布（用样本方差 s 来标准化）Students t-distribution 1、概念（适用于2 未知） 【理解】把样本标准正态化的 U 变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样 本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以 n 的正态分布。 由于在实际工作中， 往往
7、是未知的， 常用 s 作为 的估计值， 为了与 u 变换区别， 称为 t 变换，统计量 t 值的分布称为 t 分布（u 变换指把变量转换为标准正态分布） 【思考】 为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差， 一个是样本均值的方 差。不同 2、特点 1）与标准正态分布曲线相比，自由度 v 越小，t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线 双侧尾部翘得愈高；自由度 v 愈大，t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 v=时，t 分布曲线为标准正态分布曲线。 定理三：设 X1，X2，X3.。 。Xn 是来自正态总体 N（，2）的样本，则有 样本均值 XN（，2/n） ，S 为样本方差 【注意】
8、S 是样本方差。 中心极限定理说的是样本均值的方差。 ）（ 1-nt n/S X 八、F 分布 F-distribution 1、概念 F 分布定义为：设 X、Y 为两个独立的随机变量，X 服从自由度为 k1 的卡方分布，Y 服 从自由度为 k2 的卡方分布，这 2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计 量的分布 2、特点 （1）它是一种非对称分布； （2）它有两个自由度，即 n1 -1 和 n2-1，相应的分布记为 F（ n1 1， n2-1） ， n1 1 通常称为分子自由度， n2-1 通常称为分母自由度； （3）F 分布是一个以自由度 和 为参数的分布族，不同的自由度决
9、定了 F 分布的形状。 （4）F 分布的倒数性质： （5）残差平方和之比通常与 F 分布有关。 九、逻辑分布 logistic（分类评定模型）最早应用最广的离散选择模型 1、概念 t e tF 1 1 )( 2 )1 ( )( t t e e tf t e tF tF )(1 )( 2、特点 用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。 Logistic 分布由尺度和位置参数描述。 Logistic 分布没有形状参数， 也就是说其概率密度 函数只有一个形状。 下列图形显示了不同参数值对 Logistic 分布的效应。 尺度参数的效应位置参数的效应 Logistic 分布的形状与正
10、态分布的形状相似，但 Logistic 分布的尾部更长。 十、伽马分布十、伽马分布 1、概念伽玛分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma 分 布中的参数 称为形状参数（shape parameter） ， 称为尺度参数（scale parameter） 。 假设随机变量 X 为 等到第 件事发生所需之等候时间, 密度函数为 特征函数为 伽马分布的可加性 当两随机变量服从 Gamma 分布，且单位时间内频率相同时，Gamma 数学表达式 若随机变量 X 具有概率密度 其中 0,0,则称随机变量 X 服从参数 ， 的伽马分布，记作 G(,). 九、extreme value distribution 极值分布 十、DF 分布与 ADF 分布用于时间序列平稳性的单位根检验。 八、pareto 分布 十、weibull 分布
