实验六圆周率的近似计算课件

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1、2020/9/23,实验六 圆周率Pi 的近似计算,数学实验,2020/9/23,圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问 题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。,2020/9/23,实验目的：,想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！ 祖冲之计算的圆周率领先世界900年,2020/9/23,计算的意义,人类对 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 的研究

2、，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。 德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展 水平的指标。”,测试或检验超级计算机的各项性能 引发新的概念、方法和思想，产生新的问题,2020/9/23,的历史,直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。 人工计算：实验法-几何法-分析法 最高纪录：808位(1948年) 计算机方法：,2020/9/23,的历史实验时期,通过实验对值进行估算，这是计算 的的第一阶段。这种对 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对

3、一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。 在古代世界，实际上长期使用 3这个数值。最早见于文字记载的有基督教圣经中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国 等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部周髀算经中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我 国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这 正反映了早期人们对圆周率 和2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准

4、。后人称之为“古率”。,2020/9/23,早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取 值由此，得到圆周率的稍好些的值。 如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 = 10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实 验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.203

5、1比径一周三的古 率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。,2020/9/23,的历史几何法时期,凭直观推测或实物度量，来计算 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。 真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于“数学之神”阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。 圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形。因此 22 4 。 当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值

6、域。,2020/9/23,阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文圆的测定之中。在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。,2020/9/23,割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 3.14，通常称为

7、“徽率”，割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 3927/1250 3.1416,2020/9/23,祖冲之(429-500),大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献。祖冲之关于圆周率的两大贡献。 其一是求得圆周率3.1415926 3.1415927 其二是，得到 的两个近似分数即： 约率为227；密率为355113。 他算出的 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录

8、九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。 这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展 。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。 记载祖冲之研究成果的著作缀术早已失传,2020/9/23,密率,密率给出了8为有效数字，这个纪录保持了1000年。 355/113是渐进分数中较简单准确的一个。虽然另一个渐近分数333/106的简单程度与它差不多，但与的误差确是它的312倍；而绝对误差仅比它约小0.2%的另一个渐近分数52163/16604，却比它复杂得多。 355/113仅仅由1

9、、3、5组成，大的作分母，小的作分子。,2020/9/23,密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。 1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果227与托勒密的结果377120用类似于加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。 1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 377/120，用两者作为 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 (15+17)/(106+120) = 355/

10、113。 两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。,2020/9/23,另一种推测是：使用连分数法。 将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，227，333106，355113，10257332650 最后，取精确度很高但分子分母都较小的355113作为圆周率的近似值。 英国李约瑟博士持这一观点。他在中国科学技术史卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说：“密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。”,2020/9/23,1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家阿尔.卡西著圆周论，计算了805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出值，他的结果

11、是：3.14159265358979325 有十七位准确数字.这是国外第一次打破祖冲之的记录. 17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是 从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的 这一非凡成果，在德国圆周率 被称为“鲁道夫数”。,2020/9/23,的历史分析法时期,用几何方法求的值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走

12、得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。 17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 。,2020/9/23,1650年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，给出了的计算公式： 1671年，苏格兰数学家詹姆斯.格雷戈里公开了他发现的公式： 1673年，莱布尼茨发现了计算的公式：,2020/9/23,1699年，英国数学家夏普将 代入格雷戈里公式，计算出了的71位精确值。自此开始了用分析法算的历程，各种方法应运而生。这一历程持续了近300年，

13、直到20世纪50年代之后。 1706年，英国数学家Maqin发明了Maqin公式 算出了的101位准确值。 之后欧拉、乔治威拉、卡勒特、达什、斯特拉斯、克劳森、黎赫特、山克斯等人都推出了的更准确值。,2020/9/23,1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的。 1949年6月，美国数学家史密斯和伦奇算出了1121位值，这是人工计算 的最高记录。,2020/9/23,的历史计算机时期,1949年，ENIAC根据Maqin公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。计算机的发展一日千里，其记录也就被频频打破。 1973年，有人就把圆周率算到

14、了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。 1989年突破10亿大关。 1995 年10月超过64亿位。,2020/9/23,1999年9月30日，文摘报报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在 A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。 2003年，金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人创造的纪录。,2020/9/23,不过，现在打破记录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了。实际上，把 的数值算得过分精确，应用意义并不

15、大。现代科技领域使用的 值，有十几位已经足够。如果用鲁道夫的35位小数的 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可以引美国天文学家西蒙纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： “十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。”,2020/9/23, 的其它计算方法,通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现，这充分显示了数学方法的奇异美。例如蒙特卡罗法，竟然与这么些表面看来风马牛不相及的实验，沟通在一起，这的确使人惊讶不已。,2020/9/23,圆周率的计算公式,P80-81,2020

16、/9/23,2、函数的泰勒展开式,taylor(f)求函数f的5阶Maclaurin展开式 taylor(f,n)求函数f的n-1阶Maclaurin展开式 taylor(f,n,a) polyval(y,x) digits(n) vpa(),2020/9/23,3、圆周率的幂级数计算方法,2020/9/23,4 数值积分法,做平行于y轴的直线将x轴上的区间0,1分成n等份，也就是将扇形分成宽度都为1/n的n个窄的曲边梯形。当n足够大时，扇形的面积近似于 这些曲边梯形的面积之和， 而这些曲边梯形的面积近似于 梯形的面积。,2020/9/23,几个与 有关的定积分,2020/9/23,梯形公式,2020/9/23,辛普森公式,2020/9/23,5 蒙特卡罗(Monte Carlo)法,根据概率的古典定义的方法，向一个正方形中投点，每个点落在正方形中的每一个位置的机会均等，即”等可能性”。此时落在扇形内的点的个数m与总的点数n的比m/n即为点落在扇形内的概率。 求出S占S正方形的比例。 P在圆内x2+y21 /4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的比值