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1、人教版七年级数学上册知识大图第一章:有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义(1)正数:像1、2.5、这样大于0的数叫做正数;(2)负数:在正数前面加上“”号,表示比0小的数叫做负数;(3)0即不是正数也不是负数,0是一个具有特殊意义的数字,0是正数和负数的分界,不是表示不存在或无实际意义。概念剖析:判断一个数是否是正数或负数,不能用数的前面加不加“+”“”去判断,要严格按照“大于0的数叫做正数;小于0的数叫做负数”去识别。正数和负数的应用:正数和负数通常表示具有相反意义的量。所有正整数组成正整数集合;所有负整数组成负整数集合;正整数、0、负整数统称为整数,正整数、0、负整数组成整数集合;
2、常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说,其算法为高温减低温等等;例1 下列说法正确的是( ) A、一个数前面有“”号,这个数就是负数; B、非负数就是正数; C、一个数前面没有“”号,这个数就是正数; D、0既不是正数也不是负数;例2 把下列各数填在相应的大括号中 8,0.125,0, 正整数集合 整数集合 负整数集合 正分数集合 例3 如果向南走米记为是米,那么向北走米记为是 _, 0米的意义是_。例4 对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质量2克,记作+2克,那么克表示_知识窗口:正数和负数通常表示具有相反意义的量,一个记为正数,另一个就记为负数,我们习惯上把向东、向北、上
3、升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正,把相反意义的量规定为负。例5 若 ,则是 ;若,则是 ;若,则是 ;若,则是 ;(填正数、负数或0)2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数。有理数的分类如下:(1)按定义分类: (2)按性质符号分类: 概念剖析:整数和分数统称为有理数,也就是说如果一个数是有理数,则它就一定可以化成整数或分数; 正有理数和0又称为非负有理数,负有理数和0又称为非正有理数;整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数,但并不是所有小数都是有理数,只有有限小数和无限循环小数是有理数;例6 若为无限不循环小数且,是的小数部分,则是( )A、无理数 B
4、、整数 C、有理数 D、不能确定例7 若为有理数,则不可能是( ) A、整数 B、整数和分数 C、 D、3、数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴有三要素:原点、正方向、单位长度。画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。在数轴上所表示的数,右边的数总比左边的数大,即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大,所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数。概念剖析:画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可;数轴的方向不一定都是水平向右的,数轴的方向可以是任意的方向;数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位
5、长度与单位长度要保持相等;有理数在数轴上都能找到点与之对应,一般地,设是一个正数,则数轴上表示数的点在原点的右边,与原点的距离是个单位长度;表示数的点在原点的左边,与原点的距离是个单位长度。在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式,这两个公式选择那个都一样。例8 在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10,则数 ;若在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是,则数 。例9 a,b两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是( )0 A、 a+b0 B、 ab0 C、0 D、例10 下列数轴画正确的是( )0A01B0122D2012C4、相反数 如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另
6、一个数的相反数。0的相反数是0,互为相反的两个数,在数轴上位于原点的两则,并且与原点的距离相等。概念剖析:“如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”,不要茫然的认为“如果两个数符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。 很显然,数的相反数是,即与互为相反数。要把它与倒数区分开。 互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边,一个在原点的右边,且离原点的距离相等,也就是说它们关于原点对称。在数轴上离某点的距离等于的点有两个。如果数和数互为相反数,则+=0;或;求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“”即可;例如的相反数是;例11 下列说法正确的是( )A、若两个
7、数互为相反数,则这两个数一定是一个正数,一个负数;B、如果两个数互为相反数,则它们的商为-1;C、如果+=0,则数和数互为相反数;D、互为相反数的两个数一定不相等;例12 求出下列各数的相反数 例13 化简下列各数的符号 知识窗口:一个数前面加上“”号,该数就成了它的相反数; 一个数前面的符号确定方法:奇数个负号相当于一个负号,偶数个负号相当于一个正号,而与正号的个数无关。5、绝对值 数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。(1)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。(2)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0;一个负数的绝对值是它的相反数
8、,可用字母a表示如下:(3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小。概念剖析:“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”,而距离是非负,也就是说任何一个数的绝对值都是非负数,即。 互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。 例14 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数是( ) A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等例15 已知ab0,试求的值。例16 若|x|=-x,则x是_数;例17 若x+3+y2=0,则 = ;例18 将下列各数从大到小排列起来0、 、 、例19 如果两个数和的绝对值相等,则下列说法正确的是( ) A、 B、 C、
9、 D、不能确定二、有理数的运算1、有理数的加法(1)有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数。例20 计算下列各式 ( 3)( 4)+7 +(2)有理数加法的运算律:加法的交换律 :a+b=b+a;加法的结合律:( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口:用加法的运算律进行简便运算的基本思路是:先把互为相反数的数相加;把同分母的分数先相加;把符号相同的数先相加;把相加得整数的数先相加。例21 计算下列各式 2、有理数的减法(1)
10、有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。(2)有理数减法常见的错误:顾此失彼,没有顾到结果的符号;仍用小学计算的习惯,不把减法变加法;只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数。(3)有理数加减混合运算步骤:先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;概念剖析:减法是加法的逆运算,用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。 转化后它满足加法法则和运算律。例22 计算:例23 月球表面的温度中午是,半夜是,中午比半夜高多少度?例24 已知是6的相反数,比的相反数小5,求比大多少?3、有理数的乘法(1)有理数乘法的法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对
11、值相乘;任何数与0相乘都得0。(2)有理数乘法的运算律:交换律:ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc);交换律:a(b+c)=ab+ac。(3)倒数的定义:乘积是1的两个有理数互为倒数,即ab=1,那么a和b互为倒数;倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。概念剖析:“两个有理数相乘,同号得正,异号得负”不要误认为成“同号得正,异号得负” 多个有理数相乘时,积的符号确定规律:多个有理数相乘,若有一个因数为0,则积为0;几个都不为0的因数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正。 有理数乘法的计算步骤:先确定积的符号,再求各因数绝对
12、值的积。例25 计算下列各式: 4、有理数的除法有理数的除法法则:除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法;除法法则也可以看成是:两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。概念剖析:除法是乘法的逆运算,用法则“除以一个数,等于乘上这个数的倒数”即可转化,转化后它满足乘法法则和运算律。 倒数的求法:求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即的倒数为;求一个真分数和假分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即的倒数为;求一个带分数的倒数,应先将带分数化为假分数,再求其倒数;求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,再求其
13、倒数。注意:0没有倒数。例25 倒数是其本身的数有_;例26 计算下列各式: 5、有理数的乘方(1)有理数的乘方的定义:求几个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a,乘方的结果叫做幂。(2)正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数,0的任何非0次幂都是0,1的任何非0次幂都是1,偶数次幂是1、奇数次幂是;概念剖析:“” 所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a;。因为表示个相乘,而表示个的相反数;任何数的偶次幂都得非负数,即。例27 的意义是