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1、实变函数测试题一，填空题1. 设, , 则.2. ,因为存在两个集合之间的一一映射为.3. 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.4. 若集合满足, 则为集.5. 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .6. 设使闭区间中的全体无理数集, 则.7. 若, 则说在上.8. 设, ,若,则称是的聚点.9. 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.10. 设, 则的子列, 使得.二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若可测, 且,则.2. 设为点集, , 则是的外点. 3. 点集的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭
2、集.5. 若,满足, 则为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.4. 设是集, .求.5. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求.6. 求极限: .实变函数试题解答一 填空题1. .2. 3. ; .4. 闭集.5. 6. .7. 几乎处处收敛于 或 收敛于.8. 对有.9. 10. 于.二 判断题1. . 例如, , , 则且,但.2. . 例如, , 但0不是的外点.3. . 由于.4. . 例如,
3、在 中, , 是一系列的闭集, 但是不是闭集. 5. . 因为若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于.三, 计算证明题.1. 证明如下:2. 中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 3. 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.4. 已知, 令, 则.5. 将积分区间分为两两不相交的集合: , , , 其中为集, 是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得 6. 因为在上连续, 存在且与的值相等. 易知由于在上非负可测， 且广义积分收敛，则在上可积， 由于， ，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到.8
