《人教版高中数学必修二第2章2.12.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修二第2章2.12.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1.会判断空间两直线的位置关系 (易错点 ) 2理解两异面直线的定义， 会求两异面直 线所成的角 (难点、易错点 ) 3能用公理 4 解决一些简单的相关问题. (重点) 1.通过对空间直线位置关系的学 习，培养直观想象的数学素养； 2 通过求异面直线所成角及公理4 的运用，培养逻辑推理、直观想象 的数学素养 . 1空间直线的位置关系 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线 (2)异面直线的画法 (衬托平面法 ) 如图所示， 为了表示异面直线不共面的特点，作图时， 通常用一个或两 个平面来衬托 (3)空间两条直线的三
2、种位置关系 从是否有公共点的角度来分： 没有公共点 平行， 异面. 有且仅有一个公共点 相交 从是否共面的角度来分： 在同一平面内 平行， 相交. 不同在任何一个平面内 异面. 思考： 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示不一定 . 可能平行、相交或异面 2公理 4 及定理 (1)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示：ab，b c? ac (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 或互补 3异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O 作直线 a a，b b，则异面直线 a 与 b 所成的角就是直线a 与 b
3、所成的锐角 (或直角 ) (2)范围： 090 特别地，当 90时， a 与 b互相垂直，记作 ab 1 空间任意两个角 ， ， 且 与 的两边对应平行， 60，则 为() A60B120 C30D60或 120 D与 相等或互补 ， 为 60或 120 ，故选 D. 2不平行的两条直线的位置关系是() A相交B异面 C平行D相交或异面 D由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直 线的位置关系是相交或异面 3如图所示，正方体ABCD-AB C D 中，异面直线A B 与 BC 所成的角为 _异面直线 AD 与 BC 所成的角为 _ 9045BCB C，A B C 即异面直
4、线 A B 与 BC 所成的角 ， A B C 90，又 BCAD，D AD 是异面直线 AD 与 BC 所成的角 ， DAD45. 空间两条直线位置关系的判定 【例 1】(1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD， EF，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为() A1 B2C3D4 C还原的正方体如图所示 ，是异面直线的共三对 ，分别为 AB 与 CD，AB 与 GH，EF 与 GH. (2)以下选项中，点P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的 中点，则直线 PQ 与 RS是异面直线的是 () ABCD C本题容易错选 A 或 B 或 D.不能严格根据异面
5、直线的定义对两直线的位 置关系作出正确判断 ，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择A，B 中， PQRS，D 中，PQ 和 RS相交故选 C. 1判断空间中两条直线位置关系的诀窍： (1)建立空间观念 ，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特 别关注异面直线 (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 2判定两条直线是异面直线的方法： (1)证明两条直线既不平行又不相交 (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过 此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A ，B ，Bl，l? ，则 AB与l是异面直线(如图) 1一条直线与两条异面直
6、线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 () A平行或异面B相交或异面 C异面D相交 B假设 a 与 b 是异面直线 ，而 ca，则 c 显然与 b 不平行 (否则 cb，则 有 ab，矛盾)；因此 c 与 b 可能相交或异面 公理 4 及等角定理的应用 【例 2】如图所示，在正方体ABCD-A BC D中，E、F、E 、F 分别是 AB、 BC、AB 、B C 的中点 求证： EE FF. 证明因为 E、E 分别是 AB、AB 的中点 ， 所以 BEB E ，且 BEBE. 所以四边形 EBB E 是平行四边形 所以 EE BB ，同理可证 FF BB. 所以 EE FF. 1证明空间两条
7、直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等 (2)定义法 用定义证明两条直线平行 ，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内； 二是两条直线没有公共点 (3)公理 4 用公理 4 证明两条直线平行 ，只需找到直线b，使得 ab，同时 bc，由 公理 4 即可得到 ac. 2证明两个角相等的方法 (1)利用等角定理 (2)利用三角形全等或相似 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为棱 CC1，BB1，DD1的中 点，试证明： BGCFD1E. 证明因为 F 为 BB1的中点 ，所以 BF1 2BB 1， 因为 G 为 DD1的中点 ，所以 D1G1
8、2DD 1. 又 BB1 DD 1，所以 BF D1G. 所以四边形 D1GBF 为平行四边形 所以 D1FGB，同理 D1EGC. 所以BGC 与FD1E 的对应边平行且方向相同 ， 所以BGCFD1E. 异面直线所成的角 探究问题 1.已知直线 a，b 是两条异面直线 ，如图，如何作出这两条异面直线所成的 角？ 提示如图，在空间中任取一点O，作直线 aa，bb，则两条相交直 线 a ，b 所成的锐角 (或直角 ) ，即两条异面直线 a，b 所成的角 2异面直线 a 与 b 所成角的大小与什么有关 ，与点 O 的位置有关吗？通常 点 O 取在什么位置？ 提示异面直线 a 与 b 所成角的大小
9、只与a，b 的相互位置有关 ，与点 O 的位置选择无关 ，一般情况下为了简便 ，点 O 常选取在两条异面直线中的一条 上 【例 3】如图，三棱锥A-BCD 中，ACBD，E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，并使 AEEBCFFDm(m0)，设 为异面直线 EF 和 AC 所成的角， 为异面直线 EF 和 BD 所成的角，试求 的值. 解过点 F 作 MFBD，交 BC 于点 M，连接 ME， 则 CMMBCFFD m， 又因为 AEEBCFFDm， 所以 CMMB AEEB， 所以 EMAC， 所以 MEF， MFE， 所以 AC 与 BD 所成的角为 EMF. 因为 ACBD，EMF90
10、， 所以 90. 将本例变为：如图所示，点 A 是平面 BCD 外一点， ADBC 2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF2，求异面直线 AD 和 BC 所成的角 解如图，设 G 是 AC 的中点 ，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点 ， 故 EGBC 且 EG1 2BC1， FGAD，且 FG 1 2AD1，即EGF 为所求 ， 又 EF2，由勾股定理逆定理可得 EGF90. 两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面 直线夹角的相关角 (2)计算角：求角度 ，常利用三角形 (3)确定角：若求出的角
11、是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角； 若求出的角是钝角 ，则它的补角就是所求异面直线所成的角 1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很 多情况下，定义就是一种常用的判定方法 2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为 两条相交直线所成的角 将空间问题向平面问题转化， 这是我们学习立体几何的 一条重要的思维途径 需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0， 90， 解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小 1若空间两条直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 () A共面B平行C异面D平行或异面 D若直线 a 和 b
12、 共面，则由题意可知 ab；若 a 和 b 不共面 ，则由题意 可知 a 与 b 是异面直线 2若 OAO A ，OBO B ，且 AOB130 ，则 AO B 为() A130B50 C130或 50D不能确定 C根据定理 ， A O B 与AOB 相等或互补 ， 即A O B 130或A O B 50. 3如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是 _； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是 _； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是 _； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是
13、_ (1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中， A1D1BC，A1D1BC，所以四边形 A1BCD1为平行四边形 ，所以 A1BD1C. (2)直线 A1B 与直线 B1C 不同在任何一个平面内 (3)直线 D1D 与直线 D1C 相交于点 D1. (4)直线 AB 与直线 B1C 不同在任何一个平面内 4如图所示，空间四边形ABCD 中，ABCD，ABCD，E、F 分别为 BC、 AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角 解取 AC 的中点 G，连接 EG，FG， 则 FGCD，EGAB， 所以FEG 即为 EF 与 AB 所成的角 ， 且 FG 1 2CD，EG 1 2AB，又 ABCD， 所以 FGEG. 又由 ABCD 得 FGEG，所以FEG45. 故 EF 和 AB 所成的角为 45.
