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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（文科） 第 I 卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1、已知集合24Axx，(1)(3)0Bx xx，则ABI （A） （1，3）（B） （1，4）（C） （2， 3）（D） （2，4） 2、若复数z满足 1 z i i ，其中i为虚数单位，则z （A）1 i（ B）1i（C）1i（ D）1 i 3、设 0.61.50.6 0.6,0.6,1.5abc，则, ,a b c的大小关系是 （A）abc（B）acb（C）bac（D）bca 4、
2、要得到函数sin(4) 3 yx的图象，只需将函数sin 4yx的图象 （A）向左平移 12 个单位（ B）向右 12 平移个单位 （C）向左平移 3 个单位（D）向右平移 3 个单位 5、设mR，命题“若0m，则方程 2 0 xxm有实根”的逆否命题是 （A）若方程 2 0 xxm有实根，则0m （B） 若方程 2 0 xxm有实根，则0m （C） 若方程 2 0 xxm没有实根，则0m （D） 若方程 2 0 xxm没有实根，则0m 6、为比较甲、乙两地某月14 时的气温状况，随机选取该月中的5 天，将这5 天中 14 时的气温数据 (单位： )制成如图所示的茎 叶图。考虑以下结论： 甲地
3、该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温； 甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温； 甲地该月14 时的气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差； 甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 （A） （B） （C） （D） 7、在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1log ()1 2 x”发生的概率为 （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 3 （D） 1 4 8、若函数 21 ( ) 2 x x f x a 是奇函数，则使( )3f x成立的x的取值范围为 （A） , 1
4、 （B） 1,0 （C） 0,1 （D） 1, 9、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体的体积为 （A） 2 2 3 （B） 4 2 3 （C）2 2（D）42 10、设函数 3,1, ( ) 2 ,1, x xbx f x x 若 5 ( ( )4 6 ff，则b （A）1 （B） 7 8 （C） 3 4 （D） 1 2 第卷（共100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。 （ 11）执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值 是. （ 12 ） 若, x y满 足 约 束 条 件 1,
5、3, 1, yx xy y 则3zxy的 最 大 值 为. （13）过点(1, 3)P作圆 22 1xy的两条切线，切点分别为A，B，则PA PB uu u r u uu r . （14）定义运算“” ： 22 ,0 xy xyx yR xy xy .当0,0 xy时，2xyyx的 最小值为. （15） 过双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点 P， 若点 P 的横坐标为2a则C的离心率为. 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分 16（本小题满分12 分） 某中学调查了某班全部45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：
6、参加书法社团未参加书法社团 参加演讲社团8 5 未参加演讲社团2 30 （I）从该班随机选1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有5 名男同学 54321 ,AAAAA，3 名女同学 321 ,BBB，现从这 5 名男同学和3 名女同学中各随机选1 人，求 1 A被选中且 1 B未被选中的概率。 17 （本小题满分12 分） ABC中 ， 角CB,A,所 对 的 边 分 别 为cba,， 已 知 3 3 cosB， 6 sin() 9 AB， 2 3ac，求Asin和c的值 . 18 （本小题满分12 分） 如 图 ， 三 棱
7、台 ABC-DEF 中 ，2,ABDE G H分 别 为 BCAC,的中点， （I）求证：/BD平面FGH； （II）若BCABBCCF,，求证：平面BCD平面FGH. 19 （本小题满分12 分） 已知数列 n a是首项为正数的等差数列，数列 1 1 nn aag 的前n项和为 12n n 。 （I）求数列 n a的通项公式； （II）设b(1) 2 n a nn ag，求数列 n b的前n项和 n T. 20 （本小题满分13 分） 设函数 x e x xgxaxxf 2 )(,ln)()(，已知曲线)(xfy在点)1 (, 1 (f处的切线与直线 02yx平行， （）求a的值； （）是否
8、存在自然数k，使的方程)()(xgxf在)1,(kk内存在唯一的根？如果存在， 求出k；如果不存在，请说明理由； （）设函数),)(min(),(min)(qpxgxfxm表示qp,中的较小值） ，求)(xm的最大值 . 21. （本小题满分14 分） 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 3 ，且点) 2 1 ,3( 在椭圆C上， （）求椭圆 C的方程； （）设椭圆1 44 : 2 2 2 2 b y a x E，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线mkxy交椭 圆 E 于BA,两点，射线PO交椭圆 E 于点Q， （）求 OP O
9、Q 的值； （）求ABQ面积的最大值。 参考答案 一、选择题 （1）C （2）A （ 3）C （4）B （5）D （6）B （7）A （ 8）C （9）B （10）D 二、填空题 （11）13 （12）7 （ 13） 2 3 （14）2（15）2+3 三、解答题 （16）解： （） 由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团 的共有453015人， 所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 151 . 453 P （）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： 111213212223313233
10、,A BA BA BABABABABABAB 414243515253 ,ABABABA BABA B，共15个. 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“ 1 A被选中且 1 B未被选中”所包含的基本事件有： 1213 ,A BA B，共2个. 因此 1 A被选中且 1 B未被选中的概率为 2 15 P. 17.解： 在ABC中，由 3 cos 3 B，得 6 sin 3 B. 因为ABC， 所以 6 sinsin() 9 CAB， 因为sin sinCB，所以CB，可知C为锐角， 所以 5 3 cos 9 C， 因此sinsin()ABC sincoscossinBCBC 65 3
11、362 2 39393 . 由, sinsin ac AC 可得 2 2 sin 3 2 3 sin6 9 c cA ac C ， 又2 3ac，所以1c. 18. （）证法一：连接,DG CD，设CDGFOI， 连接OH 在三棱台DEFABC中， 2,ABDEG为AC的中点， 可得/,DFGC DFGC， 所以四边形DFCG为平行四边形 则O为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以 /OHBD， 又OH平面,FGH BD平面FGH， 所以 /BD 平面FGH 证法二：在三棱台 DEFABC中， 由2,BCEF H为BC的中点， 可得/,BHEF BHEF， 所以四边形BHFE为平行四边形，
12、可得/BEHF 在ABC中，G为AC的中点， H为BC的中点， 所以 /GHAB 又GHHFHI，所以平面/FGH平面ABED 因为BD平面ABED， 所以/BD平面FGH （） 证明：连接HE. 因为GH，分别为ACBC，的中点， 所以/GHAB 由,ABBC得GH BC， 又H为BC的中点， 所以/ /,EFHC EFHC 因此四边形EFCH是平行四边形， 所以/ /.CFHE 又CFBC，所以HEBC. 又,HE GH平面EGH，HE GHH， 所以BC平面EGH， 又BC平面BCD， 所以平面BCD平面.EGH 19.解： （）设数列 n a的公差为d， 令1,n得 12 11 3a
13、a ， 所以 12 3a a. 令2,n得 1223 112 5a aa a ， 所以 23 15a a. 解得 1 1,2ad， 所以21 n an （）由（）知 21 224 nn n bnngg 所以 12 1 42 4.4 n n Tnggg， 所以 231 41 42 4.4 n n Tnggg， 两式相减，得 1231 3444.44 nn n Tng 1 4(14 ) 4 14 n n ng 1 134 4 33 n n 所以 1 1 3144(31) 4 4. 999 n n n nn T 20. 解： （）由题意知，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线斜率为2， 所以
14、(1)2f， 又( )ln1 a fxx x ， 所以1a （） 1k 时，方程( )( )f xg x在(1,2)内存在唯一的根. 设 2 ( )( )( )(1)ln, x x h xfxg xxx e 当(0,1x时，( )0h x. 又 22 44 (2)3ln 2ln8110,h ee 所以存在 0 (1,2)x，使 0 ()0h x. 因为 1(2) ( )ln1, x x x h xx xe 所以当(1,2)x时， 1 ( )10h x e ， 当(2,)x时，( )0h x， 所以当(1,)x时，( )h x单调递增 . 所以 1k 时，方程( )( )fxg x在( ,1)k
15、 k内存在唯一的根. （）由（）知，方程( )( )fxg x在(1,2)内存在唯一的根 0 x， 且 0 (0,)xx时，( )( )f xg x， 0 (,)xx时，( )( )f xg x， 所以 0 2 0 (1)ln,(0, ( ) ,(,) x xx xx m x x xx e . 当 0 (0,)xx时，若(0,1,( )0;xm x 若 0 (1,),xx由 1 ( )ln10,m xx x 可知 0 0( )();m xm x 故 0 ( )().m xm x 当 0 (,)xx时，由 (2) ( ), x xx m x e 可得 0 (,2)xx时，( )0,( )m xm
16、 x单调递增； (2,)x时，( )0,( )m xm x单调递减； 可知 2 4 ( )(2),m xm e 且 0 ()(2)m xm. 综上可得函数( )m x的最大值为 2 4 e . 21.解： （）由题意知 22 31 1, 4ab 又 22 3 2 ab a ，解得 22 4,1ab， 所以椭圆C 的方程为 2 2 1. 4 x y （）由（）知椭圆E 的方程为 22 1 164 xy . （）设 00 | (,), | OQ P xy OP 由题意知 00 (,)Qxy. 因为 2 20 0 1. 4 x y 又 22 00 ()() 1 164 xy ，即 22 2 0 0 ()1. 44 x y 所以2，即 | 2. | OQ OP （）设 1122 (,),(,),A xyB xy 将ykxm代入椭圆E 的方程， 可得 222 (14)84160kx
