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1、 26.立体图形的体积 知识要点梳理 一、体积和容积 1体积： 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2容积 ：容器所能容纳物体的体积叫做容积。容积单位一般用体积单位。当容器所容 纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。（注：容积的计算方法跟体积的计算方法相 同，但要从容器的里面量。） 二、立体图形的体积计算公式 考点精讲分析 典例精讲 考点 1 方体和正方体的体积 【例 1】在一个长、宽、高分别是30 厘米、 25 厘米、 60 厘米的长方体的箱子里，最 名称图形字母意义体积计算公式 长方 体 a：长 b: 宽 h：高 hSabhV 底 正方 体 a：棱长 底 S：底面积 V;体积 aSaV 底
2、 3 圆柱r ：底面半径 h：高 C：底面周长 hShrV 底 3 圆锥r ：底面半径 h：高 hrhSV 2 3 1 3 1 底 多能装进棱长为1 分米的立方体（）个。 A 45 B30 C36 D72 【精析 】把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是3 分米、 2.5 分米、 6 分 米，这个箱子一层长可以装进3个， 宽只能装进2 个棱长 1 分米的立方体， 高可以装进 6 个，因此只能装进（326） 36 个。 【答案 】C 【归纳总结 】注意， 此题容易出现的错误是不考虑实际，用这个箱子的容积除以每个 立方体的体积。 考点 2 圆柱的体积 【例 2】下图是一根空心钢管，求它所用钢
3、材的体积。 【精析 】此题考查空心圆柱体积的求法。根据空心圆柱的体积大圆柱的体积小圆 柱的体积计算即可。 【答案】3.14 （ 1.22 ） 2（ 0.62 ）2 2.5 2.1195 （立方米） 答：它所用钢材的体积是21195 立方米。 【例 3】有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是 20 升。瓶中装有一些 饮料，正放时饮料高度为20cm ， 倒放时空余部分高度为5cm ， 问瓶中现有饮料 （） 升。 【精析 】正放和倒放时，瓶中液体的体积不变，即空余部分体积相等。 【答案 】20 20（ 20 5） 16（升）答：瓶中现有饮料16 升。 【归纳总结 】无论是正放还是倒放瓶子的
4、饮料和瓶子的体积不变，所以它们的空余部 分总是不变的。 考点 2 圆锥的体积 【例 4】一个圆锥形沙堆，底面积是8 平方米，高是15 米。用这堆沙在5 米宽的 路上铺 2 厘米厚，能铺多少米？ 【精析】沙子都铺在路面上后的形状，是一个宽5 米、厚 2 厘米的近似长方体。 【答案】 13 81.5 （ 2100） 540（米） 答：能铺40 米。 【归纳总结 】这个长方体的体积和圆锥形沙堆的体积相等。 名题精析 【例】 （西安某工大附中入学）某茶厂要将长、宽、高分别为20cm 、20cm、10cm的茶叶 盒装入棱长为50cm的正方体纸箱中，如图所示。再用一辆厢式小货车将装有茶叶盒的 正方体纸箱运
5、往外地销售。已知货车车厢内壁长、宽、高分别为57m 、2m 、2m ，请问 这辆货车最多能运多少个茶叶盒？ 【精析 】先考虑沿“高”放，50105；再考虑沿“长”放，纸箱棱长50cm ，放 2 个 20cm后还剩 10cm，以茶叶盒“10cm 、20cm”的侧面为底，还可以放1 个，侧放共4 个；最后考虑沿“宽”放的情况，同样放两个20cm后还剩 10cm，以“ 10cm、20cm”为 底，还可以放1 个，侧放共4 个，所以每个纸箱一共可放52244 28（个） ， 因为货车车厢内壁长55 米，即 550 厘米，所以横着放5505011（箱），车厢宽2 米，即 200 厘米，所以能放20050
6、 4（箱），因此总共放4411176（箱）；总共 放 176284928（盒）。 【答案 】竖着可以放50 105（层）每个纸箱装5 224428（个） 55 米 550 厘米， 2 米 200 厘米 550 5011（箱） 200504（箱） 4 411176 （箱） 共装茶叶盒176284928（个）答：这辆货车最多能运4928 个茶叶盒。 【归纳总结 】此题较复杂， 关键在于求出每箱装入几盒，以及装入车厢每层的箱数和 层数 毕业升学训练 一、填空题 1. 一个长方体木盒长5 厘米，宽 3 厘米，高 4 厘米，它的体积是（）立方厘米，容积 是（）立方厘米（忽略木板厚度）。 2. 一个正方体
7、的棱长总和是84 分米，则它的体积是（）立方分米， 将它铸成一个底 面积是 49 平方分米的圆锥，这个圆锥的高是（）分米。 3. 表面积是54 平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米。 4. 一个圆锥的底面周长是1884 分米，高是4 分米，它的体积是（）立方分米。 5. 一个等腰直角三角形的直角边长为9 厘米，以它的一条直角边为轴旋转一周，得到的 立体图形的体积是（）立方厘米。 6. 一个圆柱的底面周长是18.84 厘米， 高 8 厘米。 把它削成一个最大的圆锥体，圆锥的 体积是（）立方厘米。 7. 将一根长4 米的圆柱体木料锯成2 段，表面积增加60 平方分米。这根木料的体积是 （）立方
8、分米。 8. 等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是180 立方米，则圆柱的体积是（）立方米， 圆锥的体积是（）立方米。 9. 用一张边长是18 84 厘米的正方形铁皮， 围成一个圆柱体， 这个圆柱的体积是 （） 立方厘米。 10. 一个圆锥的体积是624 立方厘米，它的体积是另一个圆锥的4 倍，如果另一个圆 锥的高是 2.5 厘米，另一个圆锥的底面积是（）平方厘米。 11. 一个圆柱体，把它的高截短3 厘米，它的表面积就减少942 平方厘米，它的体积 会减少（）立方厘米。 12. 自来水管的内直径是2 厘米，水管内水的流速是每秒8 厘米。一位同学去水池洗手， 走时忘记关掉水龙头，4 分钟浪费（）升
9、水。 13. 一个圆柱和一个圆锥，圆柱与圆锥底面直径的比是23，体积的比是32，圆柱与 圆锥高的比是（） 。 14. 如图，酒瓶中装有一些酒，倒进一只酒杯中，酒杯口的直径是酒瓶 的一半，共能倒满（）杯。 二、选择题 1. 一个圆锥的体积是12 立方厘米，底面积是4 平方厘米，高是（）厘米。 A3 B 6 C9 D12 2. 正方体的棱长扩大2 倍，则体积扩大（）倍。 A2 B4 C6 D.8 3. 表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（） 。 A正方体体积大B长方体体积大C相等 4. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3 倍，圆锥的体积是15 立 方分米，圆柱的体积是（）立方
10、分米。 A45 B 15 C5 5. 将一个圆柱体的底面半径扩大3 倍，高也扩大2 倍，那么体积（） 。 A扩大 2 倍B扩大 6 倍C扩大 18 倍 三、 计算下图的体积（单位：分米） 1. 2. 四、解决问题 1. 一口周长是6.28 米的圆柱形水井，它的深是10 米，平时蓄水深度是井深的0.8 倍， 这口井平时的水量是多少立方米？ 2. 一个圆锥形稻谷堆，底面直径是6 米，高是 1米。这个谷堆的体积约是多少立方米？ 如果每立方米稻谷重650 千克，这堆稻谷有多少千克？ 3. 有一个长3 分米，宽2 分米，高6 分米的长方体玻璃缸，里面的水深2 分米，放入 10 条金鱼后，水面的高度是2.
11、3 分米，平均每条金鱼的体积是多少立方分米？ 4. 把一根长4 米的圆柱形的钢材截成相等的两段以后，表面积增加了0.28 平方分米， 如果每立方分米钢材重7.8 千克，这根钢材重多少千克？ 5. 把一个高是6 分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48 平方分米。原来这个圆柱的体积是多少立方分米？ 6. 如图是一个底面直径为6 分米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 7. 如图，将10 毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的二分之一，请问再 添入多少毫升酒可装满此容器？ 8. 把棱长为r的正方体木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的几分之
12、几？ 9. 如图，在一个棱长为20 厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容器 内盛有 m升水时， 水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱体有 8 厘米露 出水面。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的18，求实心圆柱体的体积。 冲刺提升 一、填空题 1.（江西某师大附中入学）把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积 与这个圆锥的体积的比是（） 。 2.（成都某外国语学校入学）一个长方体的棱长之和是96 厘米，长、宽、高比是 54 3，它的体积是（）立方厘米。 3.（西安某工大附中入学）从不同方向看一个几何体所得到的图形如图所示，请根据图 中数据（单位：cm） ，计
13、算这个几何体的体积为（） 3 cm。 （取 3.14 ） 4. （陕西某师大附中入学）气象部门把降雨的多少叫降雨量， 降雨量的单位通常用毫米表示。1 毫米的降雨量是指单位面积 上所降雨水的深度为1 毫米。今年4 月份，西安市比往年降雨 量偏多， 据初步统计， 降雨量约为50 毫米，学校花园里有如图 所示的玻璃容器 （容器为上下相通的两个圆柱组成）， 在不考虑 蒸发等因素影响的情况下，容器内的雨水高度是（）毫米。 5. （西安某工大附中分班）如图，在一个高度为40 厘米的 无盖长方体容器中装满水，平放在桌面上，如果把它如右 图那样斜放，则水会溢出516，这时 BC的长度是（）厘 米。 6.（成都
14、某七中入学）如右图， 一块长方形铁片利用图中阴影部分刚好能做一个圆柱形 油桶， （接头处忽略不计） ，这个桶的容积是（）立方分米。 （ 3.14 ） 7.（西安某铁一中分班）生活中我们可以在卫生纸卷的外包装上看到如下信息（如左下 图） ：3 层 138mm 104mm 节（单卷卫生纸两虚线间为一节），爱动脑的小华想知道每 3 层卫生纸的厚度，它测量出整卷卫生纸的半径R 与纸芯筒的半径r 分别为 60 毫米和 20 毫米（如右下图） 。已知整卷纸共200 节，小华利用计算面积的不同方法，巧妙地算 出每 3 层卫生纸的厚度约为（）毫米。（忽略其他因素，圆周率取3.14 ，结果保留 两位小数） 8.
15、( 西安某交大附中入学）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具， 小斌参加课外兴趣小组，制作了如图所示的简易滴水计时器，经过测量， 上方漏斗形容 器每分钟滴水80 滴（ 20 滴水约为1 毫升） ，下方为圆柱形透明容器，小斌于10：00 测 得下方容器中水的高度为2厘米， 经过一段时间后测得下方容器中的水面高度为6 厘米， 问此时的时间为（） 。 （取近似值3） 9.（西安高新某中入学）一个长方体， 如果高增加2 厘米就成了正方体，而且表面积要 增加 56 平方厘米，原来这个长方体的体积是（）立方厘米。 二、解决问题 1. （南昌某中入学）有关牙膏的数学问题： （1）小红去买牙膏。
16、同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120 克装每支6 元， 160 克装每支9元。他买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5 毫米，小红每次刷牙都挤出1 厘米长的牙膏。这样，一支 牙膏可用 36 次。该品牌牙膏推出新的包装，只是将出口处直径改为6 毫米，小红还是 按习惯每次挤出1 厘米的牙膏。这样这一支牙膏只能用多少次？计算之后你有什么想 法？ 2. （陕西某师大附中入学）一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体（如图甲），它的 表面积将增加6.28 平方厘米；如果沿直径所在的平面截成两个相同的部分（如图乙）， 它的表面积将增加80 平方厘米，求原圆柱体的体积。（取 3.14 ） 26、立体图形的体积 毕业升学训练 一、 1. 60 60 2. 343 21 3. 27 4. 37.68 5. 763.02 6. 75.36 7. 1200 8. 135 45 9. 532.4184 10. 18.72 11. 235.5
