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1、小马成群 初三数学 page 1 of 11 2013 北京一模第 22 题 22. (2013 昌平区一模 )（ 1）人教版八年级数学下册 92 页第 14 题是这样叙述的：如图 1， ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EFBC， HGAB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？ 根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ； （ 2） 如图 2，点 P 为 ABCD 内一点，过点 P 分别作 AD、 AB 的平行线分别交 ABCD 的四边于点 E、 F、 G、 H. 已知 SBHPE = 3， SPFDG = 5，则 PACS ； （ 3）如图 3，若五个平行四边
2、形拼成一个含 30内角的菱形 EFGH（不重复、无缝隙） .已知四个平行四边形面积的和为 14，四边形 ABCD 的面积为 11，则菱形 EFGH 的周长为 22解 ： （ 1） AEPH 和 PGCF 或 ABGH 和 EBCF 或 AEFD 和 HGCD . 1分 （ 2） 1. 2分 （ 3） 24 4分 22（ 2013 朝阳区一模）阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图 1，直线 l1l2l3 ， l1 与 l2 之间的距离是 1， l2 与 l3之间的距离是 2，试画出一个等腰直角三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、 l2、 l3 上，并求出所画等腰直角三角形 ABC的面
3、积 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题具体作法如图 2 所示：在直线 l1 任取一点 A，作 AD l2 于 点 D，作 DAH=90，在 AH 上截取 AE=AD，过点 E 作 EB AE 交 l3 于点 B，连接 AB，作 BAC=90， 交直线 l2 于点 C，连接 BC，即可得到等腰直角三角形 ABC 请你回答：图 2 中等腰直角三角形 ABC 的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图 3，直线 l1l2l3, l1 与 l2 之间的距离是 2， l2 与 l3 之间的距离是 1,试
4、画出一个等边三角形 ABC，使三个顶 点分别在直线 l1、 l2、 l3 上，并直接写出所画等边三角形 ABC 的面积（保留画图痕迹） 22. 解 ： 5； 2 分 如图； 3 分 733 . 5 分 图 2 图 3图 1HPABGEHDF CABGEPDFCGFEDCBAl1l2l3图 3 l1l2l3图 1 l 1HCBADEl 2l 3图 2 l1CBED l2l3AH小马成群 初三数学 page 2 of 11 图 2D 2D 1E 2E 1FCBA22. （ 2013 大兴区一模）分别以 ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向 ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E
5、2， 连结 D1D2. (1)如图 1，过点 C 作直线 HG 垂直于直线 AB 于点 H，交 D1D2 于点 G试探究线段 GD1 与线段 GD2 的数量关系，并加以证明 （ 2）如图 2， CF 为 AB 边中线，试探究线段 CF 与线段 D1D2 的数量关系，并加以证明 22 解： （ 1）答： FD1 = FD2 。 1 分 分别将 ACH 与 BCH 绕着点 C 顺时针、逆时针旋转 90， 使 AC、 BC 分别与 CD1 、 CD2 重合，得到 CD1H1 与 CD2H2 ， H1、 C、 H2 三点共线，且 CH1 = CH2 . H1 = H1CH = H2 = 90, D1H
6、1 CF D2H2 . FD1 = FD2 . 2 分 （ 2）答： D1 D2 = 2CF . 3 分 分别将 ACF 与 BCF 绕着点 C 顺时针、逆时针旋转 90， 使 AC、 BC 分别与 CD1 、 CD2 重合，得到 CD1F1 与 CD2F2 ， F1、 C、 F2 三点共线，且 CF1 = CF2 = CF . AFC + BFC = 180, D1F1C + D2F2C = 180. D1F1D2F2 . 又 D1F1 = AF = BF = D2F2 , D1F1 F2D2 是平行四边形 . D1 D2 = F1F2 = 2CF . 5 分 图 2D 2D 1E 2E 1
7、FCBAF 2F 1图 1D 2D 1E 2E 1HFCBAH HH 21小马成群 初三数学 page 3 of 11 22. （ 2013 东城区一模）如图，在菱形纸片 ABCD 中， AB=4cm， ABC=120，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图 1，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB， EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使用 )； 第二步：如图 2，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分 ； 第三步：如图 3，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时
8、针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，再与三角形纸片 EGH 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片 (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠 ) （ 1）请你在图 3 中画出拼接成的四边形； （ 2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为 _cm，最大值为 _cm 解：（ 1）拼接成的四边形所图虚线所示； 2 分 （ 2） 8 2 3 ； 8 4 7 . 5 分 （注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边 AB=4，左右两边的长等于线
9、段 MN 的长，当 MN 垂直于 BC 时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为 2（ 3 +4） =8 2 3 ；当点 E 与点 A 重合，点 M 与点 G 重合，点 N 与点 C 重合时，线段 MN 最长，等于 27，此时，这个四边形的周长最大，其值为 8 4 7 .） 22（ 2013 房山区一模） 已知，矩形纸片 ABCD 中， AB=8cm， AD=6cm，按下列步骤进行操作： 如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB， EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使用 )； 如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段
10、 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分； 如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片 (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠 ) （ 1） 通过操作，最后拼成的四边形为 （ 2）拼成的这个四边形的周长的最小值为 _cm,最大值为 _cm 小马成群 初三数学 page 4 of 11 M5 M4 M3 M2 M1 O M0 -5 5 -5 5 y x 22 解
11、（ 1）平行四边形； -1 分 （ 2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边 AD=6，左右两边的长等于线段 MN 的长， 当 MN 垂直于 BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边 AB 的一半，等于 4，于是这个平行四边形的周长的最小值为 2（ 6+4） =20； -3 分 当点 E 与点 A 重合，点 M 与点 G 重合，点 N 与点 C 重合时，线段 MN 最长，等于 224 +6 =2 13，此时，这个四边形的周长最大，其值为 2（ 6+213 ） =12+413 -5 分 22 （ 2013 丰台区 一模）操作与探究： 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 0M
12、 的坐标为（ 1,0）将线段 0OM 绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到 1M ，使得 001 OMMM ，得到线段 1OM ；又将线段 1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到 2M ，使得 112 OMMM ，得到线段 2OM ，如此下去，得到线段 3OM ，4OM ， nOM （ 1）写出点 M5 的坐标； （ 2） 求 56OM M 的周长； （ 3） 我们规定：把点 )( nnn yxM ， （ n 0,1,2,3）的横坐标 nx ，纵坐标 ny 都取绝对值后得到的新坐标 nn yx , 称之为点 nM 的“绝对坐标”根据图中点 nM 的分布规律，请写
13、出点 nM 的“绝对坐标” 22解： （ 1） M5（ 4， 4） 4 分 （ 2）由规律可知， 245 OM , 2465 MM ， 86 OM 6 分 56MOM 的周长是 288 8 分 （ 3）解法一：由题意知， 0OM 旋转 8 次之后回到 x 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点 nM 分别落在坐标象限的分角线上或 x 轴或 y 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点 nM 的“绝对坐标”可分三类情况： 令旋转次数为 n 当点 M 在 x 轴上时 : M0（ 0,)2( 0 ）， M4（ 0,)2( 4 ）， M8（ 0,)2( 8 ） ， M12（ 0,)2( 12 ） ,， 即： 点 nM 的“绝对坐标”为（ 0,)2( n ）。 9 分 当点 M 在 y 轴上时 : M2 )2(,0( 2 ， M6 )2(,
