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1、1,第五章大数定律及中心极限定理,2,1 大数定律,3,在第一章提到过事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳定于某个常数. 在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是本节要讨论的大数定律的客观背景.,4,定理一(契比雪夫定理的特殊情况) 设随机变量X1,X2,.,Xn,.相互独立, 且具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=m, D(Xk)=s2(k=1,2,.), 作前n个随机变量的算术平均,则对于任意正数e, 有,5,证 由于,由契比雪夫不等式可得,6,在上式中令n, 并注意到概率不能大于1, 即得,7,E(X1)=E(X2)
2、=.=E(Xn)=m. 这种接近是概率意义下的接近. 通俗地说, 在定理的条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时将几乎变成一个常数.,8,设Y1,Y2,.,Yn,.是一个随机变量序列, a是一个常数. 若对于任意正数e, 有,则称序列Y1,Y2,.,Yn,.依概率收敛于a. 记为,9,依概率收敛的序列还有以下性质.,证: 由g(x,y)在(a,b)的连续性可知, 任给e0, 必存在d0, 使当|x-a|+|y-b|d时|g(x,y)-g(a,b)|e, 于是 |g(Xn,Yn)-g(a,b)|e|Xn-a|+|Yn-b|d |Xn-a|d/2|Yn-b|d/2,10,|g(Xn,Y
3、n)-g(a,b)|e|Xn-a|+|Yn-b|d|Xn-a|d/2|Yn-b|d/2,因此P|g(Xn,Yn)-g(a,b)|eP|Xn-a|d/2+P|Yn-b|d/20, 当n亦即,11,这样, 上述定理一又可叙述为:,定理一 设随机变量X1,X2,.,Xn,.相互独立, 且具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=m, D(Xk)=s2(k=1,2,.), 则序列,12,定理二(伯努利大数定理) 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对于任意正数e0, 有,或,13,证 因为nAb(n,p), 由第四章2例6, 有 nA=X1+X2+.+Xn
4、,其中, X1,X2,.,Xn相互独立, 且都服从以p为参数的(0-1)分布. 因而E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p) (k=1,2,.,n), 由(1.1)式即得,14,伯努利大数定理表明事件发生的频率(nA/n)依概率收敛于事件的概率p. 这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 就是说n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 由实际推断原理, 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,15,定理一中要求随机变量X1, X2, .的方差存在. 但这些随机变量服从相同分布的场合, 并不需要这一要求, 我们有以下的定理.,定理三(
5、辛钦定理) 设随机变量X1, X2, ., Xn, .相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望E(Xk)=(k=1, 2, .), 则对于任意正数e, 有,16,2 中心极限定理,17,在客观实际中有许多随机变量, 它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的. 这种随机变量往往近似地服从正态分布. 这种现象就是中心极限定理的客观背景.,18,二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当xB(20,0.5)时, x的概率分布图(演示),19,泊松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 因此, 参数l=
6、np当很大时也相当于n特别大, 这个时候泊松分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的泊松概率分布图.(演示),20,在c2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为是多个自由度为1的相互独立的c2(1)分布的随机变量的和, 因此也近似服从正态分布. 下面是c2(60)的概率密度曲线.,21,定理四(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,X2,.,Xn,.相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望和方差E(Xk)=m, D(Xk)=s2, (k=1,2,.). 则随机变量之和X1+X2+.+Xn的标准化变量设为Yn:(近似服从标准正态分布),22,Yn的分布函数Fn(x)对于任意x
7、满足,证明略.,23,此定理说明, 均值为m, 方差为s2的独立同分布的n个随机变量(n超过10或者20以上) X1,X2,.,Xn之和X1+X2+.+Xn近似服从正态分布N(nm, ns2). 或者将其标准化有,这样就可以用正态分布对X1+X2+.+Xn作理论分析或作概率计算, 好处是明显的.,24,将(2.2)式左端改写成,这是独立同分布中心极限定理结果的另一个形式.,25,这就是说, 均值为m, 方差为s20的独立同分布的随机变量X1,X2,.,Xn的算术平均,m, 方差为s2/n的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.,26,定理五(李雅普诺夫定理) 设随机变量X1 ,
8、X2, .,Xn,., 相互独立, 它们具有数学期望和方差:,若存在正数d, 使得当n时,27,则随机变量之和X1+X2+.+Xn的标准化变量:,的分布函数Fn(x)对于任意的x, 满足,28,定理五表明, 在定理的条件下, 随机变量,29,这就是说, 无论各个随机变量Xk(k=1,2,.)服从什么分布, 只要满足定理的条件, 则它们的和X1+X2+.+Xn当n很大时, 就近似地服从正态分布. 这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因. 在很多问题中, 所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和, 例如, 在任一指定时刻, 一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和;
9、 一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的, 可加的微小误差合成的, 它们往往近似服从正态分布.,30,定理六(棣莫弗-拉普拉斯定理) 设随机变量hn(n=1,2,.)服从参数为n,p(0p1)的二项分布, 则对于任意x, 有,31,证 hn可看作由n个服从同一(0-1)分布的随机变量X1,X2,.,Xn的和hn=X1+X2+.+Xn, 其中E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,.,n), 由定理四得,32,例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,.,20), 设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布, 记V=V1+V2+.+V20,
10、求P(V105)的近似值.,解 易知E(Vk)=5, D(Vk)=100/12(k=1,2,.,20). 则E(V)=E(V1+.+V20)=E(V1)+.+E(V20)=100, D(V)=D(V1+.+V20)=D(V1)+.+D(V20)=1000/6,根据中心极限定理, 近似有 VN(100, 1000/6).,33,VN(100, 1000/6). 于是,即有 PV1050.348.,34,例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击, 纵摇角大于3的概率为p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有2950030500次纵摇角大于3的概率是多少?,解 将船舶每
11、遭受一次波浪冲击看作是一次试验, 并假定各次试验是独立的. 在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3的次数记为X, 则X是一个随机变量, 且有Xb(90000, 1/3). 则 E(X)=np=90000(1/3)=30000, D(X)=np(1-p)=90000(1/3)(2/3)=20000.,35,E(X)=30000, D(X)=20000,因此, 根据中心极限定理, 近似有XN(30000, 20000), 则,36,例3 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15. 若学校
12、共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1)求参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.,37,解 (1)以Xk(k=1,2,.,400)记第k个学生来参加会议的家长数, 则Xk的分布律为,则E(Xk)=1.1, D(Xk)=0.19 k=1,2,.,400. 而X=X1+X2+.+X400, E(X)=440, D(X)=76, X近似服从N(440, 76). 因此,38,(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数, 则Yb(400, 0.8), 由定理六得,39,作业 第五章 习题,第126页 开始 第1,7题,
