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1、,第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,当,一、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限
2、的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线
3、,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th1,3. 无穷小与无穷大的关系,Th2,思考与练习,P41 题1 , 3,P41 题3 提示:,作业 P41 2 (1) , (2) ; 7,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二、 极限的四则运
4、算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P56 , 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,
5、当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 3 . 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论: 若,且,则,( P45 定理 5 ),利用保号性定理证明 .,说明:
6、定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4 . 若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为无穷小,(详见P44),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6 . 若,则有,提示: 因为数列是一
7、种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x = 3 时分母为 0 !,例3. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例4.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数 ),( 如P47 例5 ),( 如P47 例6 ),( 如P47
8、例7 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 复合函数的极限运算法则,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,解: 令,已知,( 见 P46 例3 ), 原式 =,( 见 P33 例5 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小
9、运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,Th1,Th2,Th3,Th4,Th5,Th7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式
10、=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,作业,P48 1 （5），（7），（9），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1） 4,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数
11、列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数极限存在的夹逼准
12、则,定理2.,且,( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,当,时,注,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,则,因此,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 原式 =,例5. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时,
13、 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,原式,例7. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,函数极限存在的夹逼准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 两个重要极限,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,填空题 ( 14 ),作业 P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，
14、(3)，(4) ; 4 (4) , (5),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P56 , 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似
15、可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 3 . 若,机动
16、目录 上页 下页 返回 结束,推论: 若,且,则,( P45 定理 5 ),利用保号性定理证明 .,说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4 . 若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为无穷小,(详见P44),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6 . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
