大学微积分经济管理类课件

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1、微 积 分,章学诚 刘西垣 编著,普通高等教育“十一五”家级规划教材,(经济管理类),第四章, 2 ,第四章 微分中值定理和导数的应用,4.3,4.5,4.2,微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性 曲线的上、 下凸性和拐点 函数的极值与最值 渐近线和函数作图,4.4,4.6,4.1, 3 ,第四章 微分中值定理和导数的应用,数学是科学的大门和钥匙. 培根（R.Bacon，12141294） 数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学 美国国家研究委员会, 4 ,小 知 识,R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教育改革家，号称“万能博士”他深知获取可靠知识的方法在数

2、学、力学、 光学、天文学、地理学、化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等方面都有不平凡的著作，他强调数学和实验，在他的著作大作中曾企图证明所有科学都需要数学. 但他也充分认识到实验对科学发现和验证理论的作用和重要性, 并预见科学造福于人类的伟大前景., 5 ,导数概念刻画了函数的一种局部特性联系导数和函数的纽带是微分中值定理, 它是用导数来研究函数性态的理论基础, 从而也成为导数应用的理论基础 本章首先介绍微分中值定理, 随后以之为基础介绍了导数的几个重要应用：求未定式的值（洛必达法则）, 函数的单调性和曲线的上、下凸性（函数的凹凸性）及拐点的判定, 函数的极值和最值的求法, 以及绘制函

3、数图形的基本方法, 6 ,4.1 微分中值定理,4.1.1,4.1.2,4.1.3,4.1.4,罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式, 7 ,4.1.1 罗尔定理 首先介绍发现于微积分产生之初的一个著名定理费马引理, 它具有重要的应用 费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0) 上有定义, 并在 x0 点可导如果 f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0) (xU(x0)， 则 f (x0) = 0 这个引理的几何含义是：在引理的假设下, 点 P0( x0, f ( x0) ) 位于曲线 C：y = f (x) (x

4、U(x0) 的 “谷底”（或 “峰顶”）（如图 4-1）, 这时 C 在点P0 的切线必是水平的, 8 ,费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0) 上有定义, 并在 x0 点可导如果 f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0) (xU(x0)， 则 f (x0) = 0 证 设自变量 x 在点 x0 处有改变量x, 且 x0 x U(x0),由假设, f (x0 x) f (x0), 从而函数 f (x) 相应的增量 y = f (x0 x) f (x0) 0, 故当x 0 时 当x 0 时 由极限的保号性质, 有 因 f (x

5、) 在 x0 可导, 故 所以必有 f (x0) = 0.,对于 f (x) f (x0) (x U (x0) 的情形, 可以同样证明., 9 ,小 知 识,费马(P.deFermat,16011665), 法国数学家与笛卡儿(R.Descartes,15961650)同时创立了解析几何，也是创立微积分的一位先驱1629年他创造了求切线的方法,但直到1637年才在他的手稿求最大值和最小值的方法中被发现.费马初学法律,博览群书,年近30岁才利用公务之余钻研数学，在数论、概率论等方面均有重大贡献.被誉为“业余数学家之王”,他只发表了很少几篇论文,在去世后，其子把他遗留在旧纸堆里、书页空白处和给朋友

6、的书信中的很多论述汇集成书，于1679年分两卷出版., 10 ,通常称导数 f (x) 等于零的点为函数 f (x) 的驻点（或稳定点、临界点）. 所以费马引理中的点 x0 是 f (x) 的驻点 罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 (a, b), 使得 f () = 0 这个定理的几何意义是：如果光 滑曲线：y = f (x) (xa, b) 的两个 端点 A 和 B 等高, 即其连线 AB 是水 平的, 则在上必有一点C(, f () (a, b) ), 在 C 点的切线是水 平的（

7、如图 4-2）,图 4-2, 11 ,罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 (a, b), 使得 f () = 0 从几何上来看, 这时的曲线 或者就是直线段 AB, 此时 AB 上的任意一点的切线都是水平的；若 不是直线段, 则 必有 “谷底” 或 “峰顶”, 设这样的点为 C(, f (), 则(a,b), 且由费马引理, 必有 f () = 0 罗尔定理只是说明在给定的条件下, 函数 f (x) 在 (a,b) 中必有驻点, 没有说明 如何确定以及有多少个, 但尽管如此, 定理还是有

8、其重要的理论价值,定理的证明就是上述几何事实的解析表述, 在此从略.,图 4-2, 12 ,小 知 识,罗尔(MRolle,16521719)，法国数学家，科学院院士，他在1691年证明了罗尔定理, 13 ,例 1 试判定函数 f (x) = ln sin x 是否满足罗尔定理的条件, 若满足, 求出它的驻点 解 在 上 sin x 0, 所以函数 f (x) = ln sin x 在 上有意义, 这是一个初等函数, 从而是连续函数, 它在 上 可导, 其导数为 又 故 f (x) 满足罗尔定理的条件, 从方程 可解 得 , 它就是函数 f (x) 的驻点, 14 ,例 2 设函数 f (x)

9、 在 0,1 上连续, 在 (0,1) 上可导, 且 f (1) = 0. 证明：存在 (0, 1) 使得 证 需证结果可改写为 f () f () = (x f (x) | x = = 0 故可考虑函数 F(x) = x f (x) 它在0, 1上满足罗尔定理的条件, 从而存在 (0, 1) 使得 F () = f ()f () = 0, 15 ,例 3 设 f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a, b) 上可导, 且 f (a) = f (b) = 0. 证明：存在 (a, b) 使得 f () f () = 0 证 若拟用罗尔定理证明上述结果, 就需将它化成某一函数之导数等于零的形

10、式为此引进函数 F(x) = ex f (x) 显然, F(x) 在 a,b 上满足罗尔定理的条件, 故必存在(a,b) 使得 F () = (ex f (x) | x = =ef () ef () = e( f () f () = 0 由于 e 0, 故得 f () f () = 0, 16 ,4.1.2 拉格朗日中值定理 罗尔定理中的条件 f (a) = f (b) 很特殊, 一般的函数不满足这个条件, 因此在大多数场合罗尔定理不能直接应用由此自然会想到要去掉这一条件, 从而导致拉格朗日中值定理 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a, b上连续, 在 (a,b

11、) 上可导, 则 (a, b), 使得 (4.1) 或 f (b) f (a) = f ()(ba) (a b) (4.2), 17 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 这个定理的几何意义是：对于 曲线：y = f (x) (xa,b), 其端点 为 A(a, f (a) 和 B(b, f (b), 公式(4.1) 的左边表示弦 AB 的斜率, 右边表示 在点C(, f ()的切线的斜率(如 图 4-3), (4.1) 式表明这切线与直线 AB 平行由于 是光滑的连续曲线, 这样的点 C

12、一定存在,图 4-3, 18 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 容易看到, 罗尔定理是拉格朗 日定理的特殊情形 证 可用罗尔定理来证明这个 定理由于线段 AB 与曲线 有共 同的端点, 表示 和 AB 的两个函 数之差定能满足罗尔定理的条件.,图 4-3, 19 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 续证 从直线 AB 的方程 或 作新的函数,图 4-3, 20 ,拉格朗日 (Lagr

13、ange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 续证 作新的函数 显然 (x) 在a,b上连续, 在 (a,b) 上可导, 其导数为 且 (a) = 0, (b) = 0. (x) (xa,b) 符合罗尔定理的条件, 所以 (a,b) 使得 这就得到(4.1)式., 21 ,小 知 识,拉格朗日(J.L.Lagrange,17361813),法国数学家,力学家,天文学家.出生于意大利,在中学时代就对数学和天文学深感兴趣,进入他的故乡都灵的皇家炮兵学校学习后,读了天文学家哈雷介绍牛顿的微积分的一篇短文,开始钻研数学.19岁任

14、该校数学教授,23岁被选为柏林科学院院士,30岁任柏林科学院主席兼物理数学所所长.德皇腓特烈大帝认为在“欧洲最大的王”的宫廷里应当有“欧洲最大的数学家”,于是1766年拉格朗日应邀赴德皇宫任职,长达20年,1786年德皇去世后应法王路易十六的邀请定居巴黎,直至去世., 22 ,小 知 识,拉格朗日的工作涉及许多数学分支（包括数论，代数方程论，微积分，微分方程，变分法等）和物理分支，他的主要兴趣是将引力定律应用于行星运动他的著作分析力学是一部科学经典，但在当时却难以找到一个出版商，他是分析力学的创始人他在为微积分奠定基础方面作了独特的尝试，在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之

15、一, 23 ,(4.1) f (b) f (a) = f ()(b a) (a b) (4.2) 把 (4.1) 或 (4.2) 式中的 a, b 互换, 公式不变, 故当 b a 时, (4.1) 和 (4.2) 式仍然成立, 24 ,(4.1) f (b) f (a) = f ()(b a) (a b) (4.2) 公式 (4.1) 或 (4.2) 称为拉格朗日中值公式它也可写成 f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) (介于 x1, x2 之间). (4.3) 拉格朗日定理的条件一般函数都能满足, 所以应用比较广泛, 在微分学中占有重要地位, 故有时也称为微分中值定理 与罗尔定理一样拉格朗日定理只是断定了适合 (4.1) 式的中值的存在性, 并没有给出确定的方法或说明这种有多少个, 但它仍然具有重要的理论意义, 25 ,例 4 试就函数 f (x) = ln x (x1, e) 验证拉格朗日定理 解 f (x) = ln x 是基本初等函数, 在1, e上连续, 在 (1, e) 上可导, 其导数为 拉格朗日中值公式 (4.1) 此时为 而 f (e) = ln e = 1, f (1) = ln 1 = 0, 故上式即为 或= e1 易知 1 e, 所以拉格朗日定理的结论