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1、小马成群 初三数学 page 1 of 13 ED CBAO FMFOA BCDE1 2DAB CO2013 北京一模 圆 1. (2013 昌平区一模 )如图，四边形 ABCD 是 O 的内接正方形，延长 AB 到 E，使 BE=AB，连接 CE. （ 1）求证：直线 CE 是 O 的切线； （ 2）连接 OE 交 BC 于点 F，若 OF=2 , 求 EF 的长 . （ 1）证明：连接 OC 四边形 ABCD 是 O 的内接 正方形， AB=BC， CO 平分 DCB， DCB=ABC=90. 1=45， EBC=90. AB=BE， BC=BE. 2=45. OCE=1+2 = 90.
2、点 C 在 O 上， 直线 CE 是 O 的切线 . 2 分 （ 2）解：过点 O 作 OM AB 于 M, 11=22A M B M A B B E. 23BEME. 3 分 FB AE, FBOM . EFBEOM . 4 分 EF EBEO EM. 223EFEF . EF = 4. 5 分 2. （ 2013 朝阳区一模）如图， O 是 ABC 是的外接圆， BC 为 O 直径，作 CAD=B，且点 D 在 BC 的延长线上 (1)求证：直线 AD 是 O 的切线； (2)若 sinCAD = 24 ， O 的半径为 8，求 CD 长 （ 1）证明：连接 OA. BC 为 O 的直径，
3、 BAC=90. 1 分 B+ACB=90. OA=OC， OAC=OCA. CAD=B， CAD+OAC=90. 即 OAD=90. OA AD. AD 是 O 的切线 . 2 分 DAB CO小马成群 初三数学 page 2 of 13 POCBAIEDAB CODPOCBAI(2) 解：过点 C 作 CE AD 于点 E. CAD=B, sinB =sinCAD = 24 .3 分 O 的半径为 8， BC=16. AC= sinBC B 42. 在 RtACE 中 ， CE= sinAC CAD 2.4 分 CE AD, CED=OAD=90. CEOA. CED OAD. CD CE
4、OD OA . 设 CD=x， 则 OD=x+8. 即 288xx . 解得 x=83 . 所以 CD=83 .5 分 3（ 2013 大兴区一模）已知：如图， AC 为 O 的直径且 PA AC， BC 是 O 的一条弦，连结 PB、 PO， PO/BC， BC 2PO 3 （ 1）求证：直线 PB 是 O 的切线； （ 2）求 tanBCA 的值 （ 1）证明：联结 OB， OB = OC， C = OBC. POBC， C = AOP， BOP = OBC， AOP =BOP OP = OP， AOPBOP.1 分 OBP = OAP = 90 PB 是 O 的切线 . 2 分 （ 2）
5、 解：延长 AC 交 PB 的延长线于点 D， PO/BC， PDOBDC . 23DC BCDO PO. DC=2CO. 3 分 设 CO = r，则 DO = 3r ，连结 BO， 在 RtBDO 中， 229 2 2D B r r r . 又 BDOADP， 小马成群 初三数学 page 3 of 13 2 2 242B O B D rP A A D r . 2PA r . 4 分 ta n ta n 2B C A P O A .5 分 4. （ 2013 东城区一模）如图， C 是以 AB 为直径的 O 上一点，过 O 作 OE AC 于点 E，过点 A 作 O 的切线 交 OE的延长
6、线于点 F，连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. （ 1）求证： PC 是 O 的切线 .（ 2）若 AB=4， AP PC =12，求 CF 的长 . 解：（ 1）证明：连结 OC OE AC， AE=CE FA=FC FAC=FCA OA=OC， OAC=OCA OAC+FAC=OCA+FCA 即 FAO=FCO FA 与 O 相切，且 AB 是 O 的直径， FA AB FCO=FAO=90 PC 是 O 的切线 2 分 （ 2） PCO=90， ACO +ACP =90. 又 BCO+ACO =90， ACP=BCO. BO=CO， BCO=B. ACP=B. P 公共角，
7、PCAPBC . PC PA ACPB PC BC. AP PC =12， 1=2ACBC . AEO=ACB=90， OFBC. AOF ABC . 1t a n t a n 2A O F A B C . 1tan 2AFA O F AO . AB=4， AO=2 . 小马成群 初三数学 page 4 of 13 A B C E D F G O AF=1 . CF=1 . 5 分 5（ 2013 房山区一模） 如图， BC 为半 O 的直径，点 A， E 是半圆周上的三等分点， AD BC ，垂足为 D，联结 BE交 AD 于 F，过 A 作 AG BE 交 CB 的延长线于 G （ 1）判
8、断直线 AG 与 O 的位置关系，并说明理由 （ 2）若直径 BC=2，求线段 AF 的长 解：（ 1）直线 AG 与 O 相切 -1 分 证明：连接 OA，点 A， E 是半圆周上的三等分点， 弧 BA、 AE、 EC 相等，点 A 是弧 BE 的中点， OA BE 又 AGBE， OA AG 直线 AG 与 O 相切 - -2 分 （ 2）点 A， E 是半圆周上的三等分点， AOB=AOE=EOC=60 又 OA=OB， ABO 为正三角形 -3 分 又 AD OB， OB=1， BD=OD=12 ， AD= 32 -4 分 又 EBC= 12 EOC =30， 在 RtFBD 中， F
9、D=BD tanEBC= BD tan30= 36 ， AF=AD DF= 32 - 36 = 33 -5 分 6 （ 2013 丰台区 一模） 已知：如图，在 RtABC 中， ABC=90，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D， E 是 BC 的中点，连结 DE （ 1）求证： DE 与 O 相切； （ 2）连结 OE，若 cosBAD=35 ， BE=143 ，求 OE 的长 （ 1）证明：如图 1 所示，连接 OD， BD AB 是 O 的直径 , 90 BDCADB . 1 分 在 RtBDC 中 E 是 BC 的中点， DE= 21 BC; DE=BE; 21 . 第 20
10、题图 FDGEAOB CC E O B A D 小马成群 初三数学 page 5 of 13 OD=OB, 43 ; 9042 ABC 9031 ODE 即 OD DE DE 是 O 的切线 2 分 （ 2）解： ADBABC ， AA ABC ADB 3 分 ADABABAC 3AD ， 4AB 316AC 7 分 OE 是 ABC 的中位线 3821 ACOE 7.（ 2013 海淀区一模）已知：如图，在 ABC 中， AB AC 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE AC 于点 E . (1)求证： DE 与 O 相切； (2)延长 DE 交 BA 的延长线于点 F .若 6AB ， sinB = 5,5 求线段 AF 的长 . (1)证明：连接 OD . 1 分 AB =AC , BC . 又 OB OD , 1B . 1C . OD AC . DE AC 于 E , DE OD . 点 D 在 O 上， DE 与 O 相切 . 2 分 (2)解：连接 AD . AB 为 O 的直径， ADB =90.
