复数与复变函数完课件

《复数与复变函数完课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数与复变函数完课件（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,复变函数,郭孔华 Tel:13873131273 Email: 中南大学数学科学与计算技术学院,2,引言,高等数学主要研究对象是以实数为变量的函数。而复变函数主要是研究以复数为变量的函数。 复变函数中的许多概念、理论和方法都是实变函数在复数领域内的推广和发展，因此我们在学习过程中要注意比较两者的共同点和不同点。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。,3,第1章 复数与复变函数 第2章 解析函数 第3章 复变函数的积分 第4章 级数 第5章 留数理论及其应用 第6章 共形映射,4,第1章 复数与复变函数,1.1 复数及其代数运算,5,1.1.1 复数的概念,6,两

2、个复数相等的充要条件是他们的实部和虚部分别相等。,一般说来，任意两个复数不能比较大小。,各数集之间的关系可表示为：,7,1.1.2 复数的代数运算,8,2.复数的四则运算律,9,共轭复数的运算性质：,图1.1,10,11,例1 化简 . 解,12,例2 设 ，求 及 . 解,所以，,13,1.2 复数的几何表示,1.2.1 复数的几何表示、复平面,由复数 的定义可知，复数是由一对有序实数 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为 ，纵坐标为 的点 表示复数 （如图1.2），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 与数 看作同义词.,14,图1.2

3、,由于 轴上的点对应着实数，故 轴称为实轴； 轴上非原点的点对应着纯虚数，故 轴称为虚轴。这样表示复数 的平面称为复平面或 平面。,15,1.2.2.复数的向量表示、模与辐角,（1）复数的向量表示,复数 还可以用起点为原点，终点为 的向量 来表示（如图1.2）， 与 分别是 在 轴与 轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.,（2）复数的模与辐角,复数的模. 如图1.2中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即,16,模的性质：,o,x,y,图1.3,17,复数的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.2）, 以正实轴为始边，以表示 的向量 为终边的角 ，称为复数 的辐

4、角,记作 ，即 .,显然， 有无穷多个值，其中每两个值相差 的整数倍，但所有 中满足条件 的只有一个，称为复数 的辐角的主值，记作 ，则 . 而 可根据 计算得出 .,我们规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.,18,4.复数的三角表示式 由 可得复数 的三角表示式： 5.复数的指数表示式 根据欧拉公式 ，可得复数 的指数表示式 复数的球面表示 如图1.4，取一个与复平面切于原 点的球面，球面与始于原点且垂直 于复平面的射线相交于点N，对 复平面上任一点z，过z和N作直 线与球面相交于异于N的一点P，,N,P,.,z,.,O,图1.4,19,反之，对球面上任一异于N的一点P，过N和P

5、的直线与复平面交于一点z，因此，除去点N外球面上的点与复平面上的点一一对应,所以我们就可以用球面上的点来表示复数. 扩充复平面 从图1.4可以看到，当z无限远离原点时P无限逼近N.我们规定，无限远离原点的点称为无穷远点，它与球面上的点N对应.我们把包括无穷远点的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点的平面称为有限平面或复平面，本书如无特别声明，只考虑有限复数及复平面。,20,例3 求 和 . 解,21,例4 求 的三角表示式与指数表示式.,解：,又因为 位于第II象限，,所以 ,于是,22,例5 将复数,化为指数形式.,解：,23,例6 用复数方程表示: （1）过两点zj=xj+iyj (j=1

6、,2)的直线；,解 ：z=z1+ t (z2-z1)（-t +）,24,（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.,25,1.3 复数的乘幂与方根,1.3.1 乘积与商的几何意义 定理1 两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和.即对任何两个非零复数 ，下面两个等式同时成立. ； 三角表示式 设 则有 指数表示式 设 ，则,26,几何意义： 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n 个复数的乘积.,27,定理2 两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角的差. 三角表示式 设 则有

7、指数表示式 设 ， 则有,28,29,由公式有：,由三个是内角容易得到：,30,1.3.2 复数的乘幂 设 为正整数， 个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即 若 ，则有 当 时，得到著名的棣莫弗( De Moivr)公式：,31,例1 求 .,解：,因为 ，,所以 。,例2 已知 ， ，求 。 .,解：,因为 ，,32,所以，,33,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的复数.,1.3.3. 复数的方根,34,例1 计算,解：因为 ，,所以,即,35,1.4 区域,1.4.1、区域的概念 邻域 平面上以 为中心， （任意的正数）为半径的圆： 内部的点的集合称为 的邻

8、域，而称由不等式 所确定的点集为 的去心邻域.,内点、外点、边界点 若点集E的点 存在一个邻域全含于E内，则称 为E的内点；若点 存在一个邻域和E没有任何公共点，则称 为E的外点；若点 的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称 为E的边界点.,36,E的所有边界点组成的点集，称为E的边界.,聚点、孤立点 设E是一个点集，若平面上的一点 （不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点，则称 为E的聚点或极限点；若 属于E，但非E的聚点，则称 为E的孤立点.,开集、闭集 若点集E的点皆为内点，则称E为开集；若点集E的每个聚点皆属于E，则称E为闭集.,37,区域、闭域 平面点集D称为一个区域，

9、如果它满足下列两个条件： 1）D是一个开集； 2）D是连通的，就是说D中任意两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来. 区域加上它的边界称为闭域。,有界集、无界集 若有正数M，对于点集E内的任意点 ，都有 ，即若E全含于一圆之内，则称E为有界集，否则称E为无界集.,38,例1 集合,为一个垂直带形，它是一个无界区域，其 边界为两条直线：,39,例2 集合,为一角形，它是一个无界区域，其边界为 半射线.,例3 集合,为一个圆环，它是一个有界区域，其边界 为圆.,40,1.4.2.单连通域与多连通域 1. 简单曲线（Jordan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ; 则曲线方程可记为

10、：z=z(t)， atb,41,42,简单闭曲线的性质(Jordan定理),43,2. 单连通域与多连通域,44,例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的.,多连通域,单连通域,45,1.5 复变函数 1.5.1 复变函数的定义,定义,46,47,例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.,解 设 ， ，代入 得,比较实部与虚部得 ，,48,例3,例2,49,例4 将定义在复平面上一对二元实变函数 ， （ ） 化为一个复变函数.,解 设 ， ， 则,将 ， 以及 代入上式，经整理后，得,50,在几何上， w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,1.5.2. 映射的

11、概念,51,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,52,例1,解,关于实轴对称的一个映射,旋转变换(映射),例2,解,53,图1-1,图1-2,图2,54,例3,55,1.5.3 反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,故为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,56,57,1.5.4.复合函数 定义3 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为

12、，值域 .若对任一 ，通过 有确定的 与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数. 例如：函数 （ 均为复常数）的复合函数为 .,58,1.6 复变函数的极限与连续性,定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式 则称复常数 为函数 当 时的极限，记作 或,1.6.1复变函数的极限,59,这个定义的几何意义是：当变点 一旦进入 的充分小的 去心邻域时，它的象点 就落入A的预先给定 邻域中.,注意，定义中 趋向于 的方式时任意

13、的， 就是说，无论 从什么方向，以何种方式趋 向于 ， 都要趋向于同一个常数A.,定理1 设 ， 则 的充分必要条件为: 且,60,复变函数的极限四则运算法则 定理2 设 ， ，则 (1) (2) (3),61,例1 证明函数 当 时极限不存在.,证：令 ，则,由此得 ， ，让 沿直线 趋于零，我们有,显然，它随 的不同而不同，所以 不存在.虽然 ，但根据定理一， 不存在.,62,练习：,63,例2 试求下列函数的极限. （1） ； （2）,解（1）法1 设 ，则 ，且,得,64,法2,（2） 设 ，则 ，得,65,1.6.2 复变函数的连续性,定义5 设 在点 的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在点 处连续.,若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续.,定理3 函数 ，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续.,定理4 在 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续.,66,例1 求,解 因为 在点 处连续，故,67,例2 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,68,定理5 若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数 在 处连续（证略）.,最值性质当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续， 且可以取得最大值和最小值；,有界性 在 上有界，即存在一正数 ， 使对于 上所有点，都有 .,